2.5.1 直线与圆的位置关系-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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2.5.1　直线与圆的位置关系

【学习目标】

课程标准学科素养

1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)

2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)

3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点)

1、直观想象

2、数学运算

3、逻辑推理

【自主学习】

1．直线与圆的三种位置关系

位置关系交点个数

相交有公共点

相切只有公共点

相离公共点

2.直线 Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

位置关系相交相切相离

公共点个数

判定

方法

几何法：设圆心到直线的距离 d＝

代数法：由

消元得到一元二次方程的判别式 Δ

【小试牛刀】

1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(　　)

2.如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.(　　)

3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解 .(

)

4.过半径外端的直线与圆相切.(　　)

【经典例题】

题型一直线与圆的位置关系

直线与圆位置关系判断的三种方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离

与圆的半径

的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必

须是过定点的直线系．

例 1 已知直线方程

－

－1＝0，圆的方程

2＋

2－4

－2

＋1＝0.当

为何值时，圆与

直线：

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有公共点．

[跟踪训练]1 已知直线

：

－2

＋5＝0 与圆

：(

－7)2＋(

－1)2＝36，判断直线

与圆

的

位置关系.

题型二圆的切线方程

(1)点在圆上时

求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线

的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程

y＝y0或x＝x0.

(2)点在圆外时

① 几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k，也就得

切线方程．

② 代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去 y后得到关于 x的一元二次

方程，由 Δ＝0求出 k，可得切线方程．

提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．

例2 （1）求过圆 x2＋y2－2x－4y＝0上一点 P(3,3)的切线方程。

（2）求过点 P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程.

[跟踪训练]2 (1)已知直线 l：ax＋by－3＝0与圆 M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点 P(－1,2)，则

直线 l的方程为________．

(2)由直线 y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)

A.1 B.2 C. D.3

题型三直线与圆相交

求直线与圆相交时的弦长有三种方法

① 交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点 A，B的坐标，

根据两点间的距离公式 |AB|＝求解.

② 弦长公式：

如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别

是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直线 l的斜率 k存在且不为 0).

③ 几何法：如图，直线与圆 C交于 A，B两点，设弦心距为 d，圆的半径为 r，弦长为|AB|，

则有 2＋d2＝r2，即|AB|＝2.

通常采用几何法较为简便.

例3 (1)求直线 l：3x＋y－6＝0被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|

AB|.

(2)过点(－4,0)作直线 l与圆 x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于 A，B两点，如果|AB|＝8，求直线 l的

方程．

[跟踪训练]3 圆心为 C(2，－1)，截直线 y＝x－1的弦长为 2的圆的方程为________________

________.

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