2.4.2 圆的一般方程-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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2.4.2　圆的一般方程

【学习目标】

课程标准学科素养

1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)

2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)

1、数学运算

2、逻辑推理

【自主学习】

1.圆的一般方程的概念

当

时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

其中圆心为，圆的半径为 r＝ .

2.对方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论

①D2＋E2－4F＞0时表示圆．

②D2＋E2－4F＝0时表示点 .

③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．

思考：方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？

【小试牛刀】

1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(　　)

2.二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(　　)

3.若方程 x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则 E≠0.(　　)

4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　　)

【经典例题】

题型一圆的一般方程的认识

注意：判断方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方＋＝，最后转化为判断

D2＋E2－4F的正负问题．

例1 若方程 x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则 a的取值范围是________．

[跟踪训练]1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．

①x2＋y2－4x＝0；② 2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③ x2＋y2＋2ax＝0.

题型二求圆的一般方程

注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r的方程组，求 a、b、r或

直接求出圆心(a，b)和半径 r，一般步骤为：

(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；

(2)根据已知条件，建立关于 a，b，r的方程组；

(3)解方程组，求出 a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程

例2 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心

坐标和外接圆半径．

[跟踪训练]2 已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0上，且圆心在第二象

限，半径长为，求圆的一般方程．

题型三与圆有关的轨迹问题

注意：求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直

接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关

点(x0，y0)建立等式，再把 x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意

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