2.3.6 拓展：直线系方程 教师版人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义

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直线系方程
1.平行直线系
以斜率为
k0
（常数）的直线系：
y=k0x+b
（
b
为参数）；
平行于直线
A0x+B0y+C0=0(A0, B0
是不全为 0的常数）的直线系：
A0x+B0y+C=0
(C 为参
数)
2.垂直直线系
垂直于直线
A0x+B0y+C0=0(A0, B0
是不全为 0的常数）的直线系：
B0x−A0y+C=0
(C 为参
数)
3.定点直线系
1.过定点（ ， ）的直线系方程：
①
y−y0=k(x−x0)
，不能表示 ；
② （A，B不同时为 0）
2.过两条直线
，
l2:A2x+B2y+C2=0
交点的直线系方程为：
①
(A1x+B1y+C1)+ λ(A2x+B2y+C2)=0
(是参数但不包括 )
②
m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0
(
m ,n
为参数，且不同时为 0)；
1
考点一：定点问题
1. 若直线 l1：y=k（x-4）与直线 关于点（2，1）对称，则直线
2
l
恒过定点（ ）
A．（0，2） B．（0，4） C．（－2，4） D．（4，－2）
1. A 直线 l1：y=k（x-4）恒过定点（4，0），点（4，0）关于点（2，1）对称的点的坐标为（0，2）
2.已知
a , b
满足
a+2b=1
，则直线
ax +3y+b=0
必过定点（ ）
A．
(
－1
6
，1
2
)
B．
(
1
2， 1
6
)
C．
(
1
2， - 1
6
)
D．
(
1
6， －1
2
)
2.将a=1-2b代入直线方程，得（1-2b）x+3y+b=0，将 x=
1
2
，y=-
1
6
代入满足方程，故选 C.
3.求过直线 l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线 方程．
解法一：解方程组
02
042
yx
yx
得交点 P（0，2）
∵k3＝
4
3
， ∴kl＝－
3
4
， 由点斜式得 l：y－2＝－
3
4
x ，即 4x＋3y－6＝0．
解法二：设所求直线 l：4x＋3y＋C＝0
由解法一知：P(0，2）代入方程，得 C＝－6 ，∴l：4x＋3y－6＝0．
解法三：设所求直线 l：(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0
整理得(λ＋1)x＋(λ－2)y－2λ＋4＝0
∵l⊥l3 3(∴λ＋1)－4(λ－2)＝0
∴λ＝11 ，∴l的方程为：(x－2y＋4)＋11(x＋y－2)＝0
即4x＋3y－6＝0．
2
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