2.3 第2课时 一元二次不等式的综合应用高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第 2 课时 一元二次不等式的综合应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
1. 会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式；
2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法(重、难点)；
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加
以解决(难点)。
1、数学抽象
2、数学运算
2、数学建模
【自主学习】
1.分式不等式的解法---化分式不等式为整式不等式
类型 转化
＞0(＜0)
f
(
x
)·
g
(
x
)＞0(＜0)
≥0(≤0)
＞
a
先移项转化为上述两种形式
2.一元二次不等式恒成立问题
（1）不等式对任意实数
x
恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等式
ax
2＋
bx
＋
c
>0，它的解集为 R的条件为
一元二次不等式
ax
2＋
bx
＋
c
≥0，它的解集为 R的条件为
一元二次不等式
ax
2＋
bx
＋
c
>0 的解集为∅的条件为
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k
≥
f
(
x
)恒成立⇔
k
≥
f
(
x
)max；
k
≤
f
(
x
)
恒成立⇔
k
≤
f
(
x
)min.
【小试牛刀】
1.不等式＜0 的解集为________.
2.对任意的
x
∈R，函数
f
(
x
)＝
x
2＋(
a
－4)
x
＋(5－2
a
)的值恒大于 0，则
a
的取值范围为_____
___.
【经典例题】
题型一 简单的分式不等式求解
例 1 解下列不等式：
(1)≥0； (2)>1.
1
[跟踪训练]1　解不等式：
(1)＜0；
(2)≥0；
(3)＞1.
题型二 一元二次不等式恒成立的问题
例 2 设函数
f
(
x
)＝
mx
2－
mx
－1.
(1)若对于一切实数
x
，
f
(
x
)＜0 恒成立，求
m
的取值范围；
(2)对于
x
∈[1，3]，
f
(
x
)＜－
m
＋5 恒成立，求
m
的取值范围.
[跟踪训练] 2 二次不等式
ax
2＋2
x
－1＜0 的解集为 R，则
a
的取值范围是________.
2
题型二 三个“二次”关系的应用
例 3 在一个限速 40 km/h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹
车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10
m.又知甲、乙两种车型的刹车距离
S
m 与车速
x
km/h 之间分别有如下关系：
S
甲＝0.1
x
＋
0.01
x
2，
S
乙＝0.05
x
＋0.005
x
2.问超速行驶谁应负主要责任.
[跟踪训练] 3 某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品，并每 100 元纳税 10 元(又称征
税率为 10 个百分点)，计划可收购
a
万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将
征税率降低
x
(
x
＞0)个百分点，预测收购量可增加 2
x
个百分点.
(1)写出降税后税收
y
(万元)与
x
的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定
x
的取值范围.
【当堂达标】
1.不等式≥0 的解集为(　　)
A.{
x
|－1＜
x
≤1} B.{
x
|－1≤
x
＜1}
C.{
x
|－1≤
x
≤1} D.{
x
|－1＜
x
＜1}
2．不等式<1 的解集是(　　)
A．{
x
|
x
>1} B．{
x
|－1<
x
<2}
3
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