2.2 第2课时 基本不等式的综合应用高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

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2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的综合应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题(难点)；
2.会用基本不等式解决恒成立问题(重点)。
1、逻辑推理
2、数学运算
3、数学建模
【自主学习】
1、设 x，y为正实数，若 x＋y＝s(和s为定值)，则当 时，积 xy 有最大值，且这个值为.
设x，y为正实数，若 xy＝p(积p为定值),则当 时，和 x＋y有最小值，且这个值为 2.
2.基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是 ；
(2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y是否为 ；求和 x＋y的最小值时，应看积 xy 是否为
.
(3)等号成立的条件是否满足.
3.利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正；和或积为定值；判断等号能否成立即“一正、二定、三相等”这三个
条件缺一不可.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条
件的一致性.
【小试牛刀】
　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，b>0，且 a＋b＝16，则 ab≤64.(　　)
(2)若ab＝2，则 a＋b的最小值为 2.(　　)
(3)当x>1 时，函数 y＝x＋≥2，所以函数 y的最小值是 2.(　　)
(4)若x∈R，则 x2＋2＋≥2.(　　)
　
【经典例题】
1
题型一 对基本不等式的理解
例1 (1)已知 0＜x＜，求 f(x)＝x(1－2x)的最大值；
(2)已知 x＞1，求函数 y＝的最小值.
[跟踪训练] 1（1）已知 x，y>0，且满足＋＝1，则 xy 的最大值为________．
（2）若 x<3，则实数 f(x)＝＋x的最大值为________．
题型二 利用基本不等式解决实际问题
例2 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢
筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的
钢筋网总长最小？
[跟踪训练] 2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6吨，每吨面粉的价格 1 800 元，
面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 3元，购买面粉每次需支付运费 900 元.求该厂多少
天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
2
题型三 基本不等式的综合应用
例3（1）已知正数 x，y满足 x＋y＝1，则＋的最小值为________.
（2）已知 x＞0，y＞0且＋＝1，则 x＋y的最小值为________.
[跟踪训练] 3 已知 a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则 m的最大值等于(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
【当堂达标】
1．已知 p>0，q>0，p＋q＝1，且 x＝p＋，y＝q＋，则 x＋y的最小值为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
2．设 x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．15
3.函数 y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则 t等于(　　)
A.1＋ B.2 C.3 D.4
4．当 x>0 时，y＝＋4x的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的
铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
3
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