2.1离散型随机变量及其分布列 教案-2020-2021学年高二数学人教A版选修2-3

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离散型随机变量及其分布列
一、高考链接
1．【2017 课标 3，理 18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每
瓶 6 元，未售出的酸奶降 价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与
当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间
[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统
计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量
X
（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为
Y
（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量
n
（单位：
瓶）为多少时，
Y
的数学期望达到最大值？
【解析】（1）由题意知， 所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知 ，
， .因此 的分布列为
0.2 0.4 0.4
⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只需考虑
当 时，若最高气温不低于 25，则 ，若最高气温位于区间 ，则
;若最高气温低于 20，则
;因此
.当 时，
若最高气温不低于 20，则 ;若最高气温低于 20，则
;因此 .
所以
n
=300 时，
Y
的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.
2. 【2017 山东，理 18】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 ，具体
方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通
1
过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者
A
1，
A
2，
A
3，
A
4，
A
5，
A
6和 4 名女志愿者
B
1，
B
2，
B
3，
B
4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接
受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含
A
1但不包含 的频率。学科-网
（II）用
X
表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求
X
的分布列与数学期望
EX
.
【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为 M，则
4
8
5
10
5
( ) .
18
C
P M C
 
(II)由题意知 X 可取的值为： .则
5
6
5
10
1
( 0) ,
42
C
P X C
 
4 1
6 4
5
10
5
( 1) ,
21
C C
P X C
 
3 2
6 4
5
10
10
( 2) ,
21
C C
P X C
 
2 3
6 4
5
10
5
( 3) ,
21
C C
P X C
 
1 4
6 4
5
10
1
( 4) ,
42
C C
P X C
 
因此 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
1
42
5
21
10
21
5
21
X 的数学期望是
0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) 4 ( 4)EX P X P X P X P X P X          
=
1 5 10 5 1
0 1 2 3 4 2.
42 21 21 21 42
     
3．【2017 天津，理 16】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口
遇到红灯的概率分别为 .
（Ⅰ）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.
2
（Ⅱ）设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .
4．【2016 高考新课标 2 理数】某险种的基本保费为 （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保
人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：学+科网
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5
保费 0.85 1.25 1.5 1.75 2
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
3
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