2.1.1 倾斜角与斜率-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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2.1.1 倾斜角与斜率
【学习目标】
课程标准 学科素养
1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念.
2. 掌握求直线斜率的两种方法(重点).
3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
【自主学习】
1.直线的倾斜角
当直线 l与x轴相交时，我们取
作为基准，x轴正向与直线 l 方向之间所成的角 α叫
做直线 l的倾斜角．
直线的倾斜角 α的取值范围是{ }，并规定与 x轴平行或重合的直线的倾斜角为 ．
注意三个条件：① x轴正向；②直线向上的方向；③小于 180°的非负角．
2.斜率的概念及斜率公式
定义：倾斜角 α(α≠90°)的 ．
记法：k＝ ．
3.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角
(范围)
α＝0° 0°<α<90° α＝90°<α<180°
斜率
(范围)
不存在
k的增
减情况
k随α的增大而
增大
k随α的增大而
增大
其对应情况如下表所示．
斜率 k0 1 不存在 － －1－
倾斜角 α0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
由上表可见，当直线的斜率 k＝0，±，±1，±或斜率 k不存在时，其倾斜角均是特殊角．
4.斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝
．
1
注意：当x1＝x2时，斜率不存在．
【小试牛刀】
1．只给出一个倾斜角能确定一条直线吗？
2．当一条直线的倾斜角为 0°时，这条直线一定与 x轴平行吗？
3.如图所示，直线 l的倾斜角为(　　)
A．45° B．135° C．0° D．不存在
4．已知一条直线的倾斜角 α＝45°，则该直线的斜率等于(　　)
A. B．－ C．1 D．－1
【经典例题】
题型一　直线的倾斜角
例1 下列命题正确的是(　　)
A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行
B．若一条直线的倾斜角为 α，则此直线的斜率为 tan α
C．若 α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则 α的度数可以大于 60°
D．若 α是直线 l的倾斜角，且 tan α＝，则 α＝45°
[跟踪训练] 1 (1)已知直线 l的倾斜角为 θ－25°，则角 θ的取值范围为(　　)
A.25°≤θ<155° B.－25°≤θ<155°
C.0°≤θ<180° D.25°≤θ<205°
（2）已知直线 l向上方向与 y轴正向所成的角为 30°，则直线 l的倾斜角为________.
题型二　直线斜率的运算
例2 （1）（利用斜率定义）若直线的倾斜角为 60°，则直线的斜率为(　　)
A. B．－ C. D．－
（2）（利用斜率公式）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定
直线的倾斜角 α.
①A(2,3)，B(4,5)；
②C(－2,3)，D(2，－1)；
2
③P(－3,1)，Q(－3,10).
[跟踪训练] 2 (1)若直线的倾斜角为 60°，则直线的斜率为(　　)
A. B.－ C. D.－
(2)已知过 A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为 1，则 m的值为________.
题型三　 利用数形结合求倾斜角或斜率范围
涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.
例3 已知两点 A(－3，4)，B(3，2)，过点 P(1，0)的直线 l与线段 AB 有公共点．
(1)求直线 l的斜率 k的取值范围；
(2)求直线 l的倾斜角 α的取值范围．
[跟踪训练] 3 直线 l过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线 l的斜
率和倾斜角的取值范围.
题型四　直线的斜率的应用
例4 已知实数 x，y满足 y＝－2x＋8，且 2≤x≤3，求的最大值和最小值．
3
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