1.5.1 全称量词与存在量词高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

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1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解全称量词、全称量词命题的定义.

2.理解存在量词、存在量词命题的定义.

3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并

会判断它们的真假．

1、逻辑推理

2、数学抽象

【自主学习】

1. 全称量词与全称命题

全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号 ∀

全称命题含有的命题

形式 “对M中任意一个 x，有 p(x)成立”，可用符号简记为“

”

2.　存在量词与特称命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示 ∃

特称命题含有的命题

形式 “存在 M中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为“

”

【小试牛刀】

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　)

(2)“三角形内角和是 180°”是存在量词命题．(　　)

(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　)

(4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　)

(5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( 　)

【经典例题】

题型一　全称命题与特称命题的辨析

例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

(1)凸多边形的外角和等于 360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

(4)存在二次函数 y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．

[跟踪训练] 1 将下列命题用“∀”或“∃”表示．

(1)实数的平方是非负数；

(2)方程 ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根；

题型二全称量词命题和存在量词命题的真假判断

例2 判断下列全称量词命题的真假．

(1)对每一个无理数 x，x2也是无理数．

(2)末位是零的整数，可以被 5整除．

(3)∀x∈R，有|x＋1|>1.

[跟踪训练] 2 判断下列存在量词命题的真假．

(1)有的集合中不含有任何元素．

(2)存在对角线不互相垂直的菱形．

(3)∃x∈R，满足 3x2＋2>0.

(4)有些整数只有两个正因数．

题型三由含量词的命题求参数

例3 　已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数 m的取值范围．

[变式]　若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数 m的取值范围．

[跟踪训练] 3　已知函数 f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数 m，使不等式 m＋f(x)>0 对于任意 x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若至少存在一个实数 x0，使不等式 m－f(x0)>0 成立，求实数 m的取值范围．

【当堂达标】

1．给出下列四个命题：

①y＝⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中

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