1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题

【学习目标】

课程标准学科素养

1. 理解线线、线面、面面夹角的概念.（难点）

2.会用向量法求线线、线面、面面夹角.（重点）

3.理解点到平面、线面、面面距离的概念.（难点）

4.会用向量法求点面、线面、面面距离.（重点）

1、直观想象

2、数学运算

3、空间想象

【自主学习】

1. 空间距离的求法

（1）点 M到面的距离（如图）就是斜线段 MN 在

法向量方向上的正投影.

由

得距离公式：

（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；

（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量

，再代上面距离公式.

2.空间三种角的向量求法

空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它

们的取值范围可以用向量法进行求解．

角的分类向量求法范围

异面直线所

成的角

设两异面直线所成的角为 θ，它们的方向向量分

别为 a，b，则 cos θ＝|cos〈a，b〉|＝

直线与平面

所成的角

设直线 l与平面 α所成的角为 θ，l的方向向量为

a，平面 α的法向量为 n，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|

＝

二面角设二面角 α－l－β为θ，平面 α，β的法向量分别

为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝[0，π]

_ n N

【小试牛刀】

1.判断正错

（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)

（2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　　)

（3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　)

（4）若二面角两个面的法向量的夹角为 120°，则该二面角的大小等于 60°或120°.(　　)

2.已知 A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段 AB 的中点坐标和长度分别是，

【经典例题】

题型一利用空间向量求距离

例1 （线面距离）设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求 D到平面

ABC 的距离.

[跟踪训练] 1 如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点 E在棱 AB 上移

动.当E为AB 的中点时，求点 E到面 ACD1的距离；

例2（线线距离）如图，已知四边形 ABCD、EADM 和MDCF 都是边长

为a的正方形，点 P、Q分别是 ED 和AC 的中点

求：（1）P点到平面 EFB 的距离；

（2）异面直线 PM 与FQ 的距离

[跟踪训练] 2（面面距离）已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为

1，求平面 AB1C与平面 A1C1D间的距离．

题型二利用空间向量求夹角

例3 （线线角）如图所示，在正方体 ABCD －A1B1C1D1中，已知

M，N分别是 BD 和AD 的中点，则 B1M与D1N所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.

[跟踪训练] 3 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E是棱 AB 上的

动点．若异面直线 AD1与EC 所成角为 60°，试确定此时动点 E的位置．

例4（线面角）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a，M为A1B1的中点，求

BC1与平面 AMC1所成角的正弦值．

[跟踪训练] 4　如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB

＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)证明：AC⊥B1D；

(2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值．

例5 （面面角）如图所示，在几何体 S－ABCD 中，AD⊥平面 SCD，BC⊥平面 SCD，AD＝

DC＝2，BC＝1，又 SD＝2，∠SDC＝120°，求平面 SAD 与平面 SAB 所

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