1.4.2 充要条件高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）(15007817)

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1.4.2 充要条件

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解充要条件概念．(重点)

2.会判断、证明充要条件．(难点)

1、数学抽象

2、逻辑推理

【自主学习】

1．充要条件

一般地，如果既有 p q⇒，又有 q p ⇒就记作 .

此时，我们说，p 是 q 的，简称 .显然，如果 p 是 q 的充要条件，那

么 q 也是 p 的充要条件.

概括地说，如果 p q⇔，那么 p 与 q .

2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则 p是q的充分条件，若 A B，则 p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则 p是q的必要条件，若 B A，则 p是q的必要不充分条件

若A＝B，则 p，q互为充要条件

若A B 且B A，则 p既不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件

其中 p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

3．“ ”⇔的传递性

若

是

的充要条件，

是

的充要条件，即

⇔

，

⇔

，则有

⇔

，即

是

的充要条

件．

【小试牛刀】

1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当p是q的充要条件时，也可说成 q成立当且仅当 p成立．(　　)

(2)符号“ ”具有传递性．⇔(　　)

(3)若p⇒q和q⇒p有一个成立，则 p一定不是 q的充要条件．(　　)

(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　)

2、若 x，y∈R，则“x＝y”是“|x|＝|y|”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【经典例题】

题型一充要条件的判断

例1　在下列各题中，试判断 p是q的什么条件．

(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；

(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.

例2 “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A.充要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[跟踪训练] 1 a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A.ab＝0 B.ab>0

C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0

题型二充要条件的证明

例3 已知 ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

注意：从充分性、必要性两方面证明．

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