1.4 空间向量的应用1（精练）（解析版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 2.45MB 42 页 3知币

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1.4 空间向量的应用（精练）

【题组一求平面的法向量】

1．（2021·福建）如图，在直三棱柱中，，，．以 A为原

点，建立如图所示空间直角坐标系．

（1）求平面的一个法向量；

（2）求平面的一个法向量．

【答案】(1) ； (2) .

【解析】易知，，， .

(1) ，，

设面的法向量为，则，

即，取，则，

所以平面的一个法向量为；

(2) ，，

设面的法向量为，则，

即，取，则，

所以平面的一个法向量为

2．（2021·全国高二课时练习）已知，， .

（1）求平面的一个法向量；

（2）证明:向量与平面平行.

【答案】（1）平面的一个法向量为（答案不唯一）；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为，，，

所以，，

设为平面的一个法向量，

则有，所以，不妨令，

则，

所以平面 ABC 的一个法向量为；

（2）若存在实数，，使，

即，

则，解得，

所以，即向量与平面平行.

3．（2021·浙江）如图所示，已知四边形 ABCD 是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面

ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.

（1）求平面 ABCD 的一个法向量；

（2）求平面 SAB 的一个法向量；

（3）求平面 SCD 的一个法向量.

【答案】（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).

【解析】以点 A为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系：

则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).

（1）∵SA⊥平面 ABCD，

∴=(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量.

（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB，

∴=，0，0是平面 SAB 的一个法向量.

（3）在平面 SCD 中， =，1，0，=(1，1，-1).

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