1.4 空间向量的应用（精讲）（解析版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 2.47MB 31 页 3知币

1.4 空间向量的应用（精讲）

思维导图

考点一求平面的法向量

【例 1】（2021·全国高二课时练习）已知平面 α经过三点 A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求

平面 α的一个法向量．

【答案】(2，1，0) （答案不唯一）．

【解析】因为 A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－

3)．设平面 α的法向量为，则有，即

得z＝0，x＝2y，令 y＝1，则 x＝2，所以平面 α的一个法向量为＝(2，1，0)．

故答案为：（答案不唯一）．

【一隅三反】

1．（2021·福建）四边形是直角梯形，，平面，，

.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量．

常见考法

【答案】答案不唯一（只要垂直于所求平面的非零向量即为该面的法向量）.

【解析】，，，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

即平面的一个法向量为；

平面轴，即为平面的一个法向量.

2．（2021·山东）正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱 A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角

坐标系中，求：

（1）平面 BDD1B1的一个法向量；

（2）平面 BDEF 的一个法向量．

【答案】（1）；（2）.

【解析】设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则，

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