1.3.3 球的体积和表面积（备作业）高一数学同步备课系列（人教A版必修2）（解析版）

3.0 envi 2025-04-11 15 4 1.17MB 17 页 3知币
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第1章 1.3.3 球的体积和表面积（备作业）
一．选择题
1．如图，球 内切于圆柱 ，记圆柱 的侧面积为 ，球 的表面积为 ，则　
　
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设球的半径为 ，可得圆柱的底面半径为 ，
高为 ，则球的表面积 ，圆柱的侧面积 ，
．
故选 B．
2．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为 20cm，高度为 100cm，现往里面装直径为
10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装　　（附
A．22 个B．24 个C．26 个D．28 个
【答案】C
【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，
这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为 的正四面体，
以两层为例，如图，求得 ．
即求得正四面体相对棱的距离为 ，每装两个球称为“一层”，这样装 层球，
则最上层球面上的点距离桶底最远为 ，
1
若想要盖上盖子，则需要满足 ，解得 ，
最多可以装 13 层球，即最多可以装 26 个球．
故选 C．
3．已知长方形 ABCD 的长 AB 为8，宽 AD 为6，沿对角线 AC 折起，形成四面体 ，则该四面
体外接球的表面积为　　
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半；
长宽分别为 8和6的长方形 沿对角线 折起二面角得到四面体 ，则其外接球的半径
为： ；
四面体外接球的表面积： ．
故选 D．
4．四面体 的顶点都在同一球面上，其中 OA，OB，OC 两两垂直，且 ， ，
则该球面的表面积为　　
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】 四面体 的顶点都在同一球面上，
其中 ， ， 两两垂直，且 ， ，
该球面的半径 ，
2
该球面的表面积为 ．
故选 A．
5．在四面体 ABCD 中， ，则当四面体 ABCD 的体积最大时，其外接球表面积
为　　
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取 的中点 ，连接 ， ， ，所以 ，
， ， 面 ，
设 ， ，所以 ，
则 ，
所以当面 面 时，四面体的体积最大，面 面 ， 在面 ，所以
面 ，
， 令
， ，
，令 ，则 ，
， ， 单调递增； ， ， 单调递减，
所以当 ， 最大，即四面体的体积最大，
即 ， ，
设底面 ，侧面 的外接圆圆心分别为 ， ，则 为外接圆的半径，过 ， 分别
做外接圆的垂线交于 ，则 为外接球的球心，连接 ，则 为外接球的半径 ，
3
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