1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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1.3 空间向量及其运算的坐标表示

【学习目标】

课程标准学科素养

1.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示．

2.会判断两向量平行或垂直.

3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．

1、直观想象

2、数学运算

3、数学抽象

【自主学习】

1.空间直角坐标系

在空间选定一点 O和一个单位正交基底{i

，

k}，以 O为原点，分别以 i

，

k方向为正

方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我

们就建立

，

O叫做

，

k都叫做。

对于空间任意一个向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3，则把

x，y，z称作向量 p在单位正交基底 e1，e2，e3下的坐标，记作。

2. 空间向量的坐标运算

空间向量 a，b，其坐标形式为 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量运算向量表示坐标表示

加法 a＋b a＋b＝

减法 a－b a－b＝

数乘 λaλa＝

数量积 a·ba·b＝

3. 空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

名称满足条件

向量表示形式坐标表示形式

a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)

a⊥ba·b＝0a·b＝

模|a|＝|a|＝

夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝

【小试牛刀】

1．已知 i，j，k分别是空间直角坐标系 Oxyz 中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且

AB＝－i＋j－k，则点 B的坐标是(　　)

A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定

2、判断对错。

(1)空间直角坐标系中，向量AB的坐标与终点 B的坐标相同．( )

(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则 a∥b⇒＝＝.( )

(3)四边形 ABCD 是平行四边形，则向量AB与DC的坐标相同．( )

(4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则OA＝(0,1，－1)．( )

【经典例题】

题型一　空间直角坐标系

注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑

图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．

例1已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N分别是 AB、PC 的

中点，并且 PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量MN的坐标．

[跟踪训练] 1 如图在边长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，取 D点为原

点建立空间直角坐标系，O，M分别是 AC，DD1的中点，写出下列向量

的坐标.AM＝________，OB1＝________.

题型二　空间向量的坐标运算

例2 （1）设 a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则 a＋2b＝________.

（2）设 a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则 cos〈a，b〉＝________.

（3）已知点 A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则|AB|＝________.

[跟踪训练] 2 若向量 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则

x＝________.

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