1.2 空间向量基本定理-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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1.2 空间向量基本定理

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理，

2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.（重点）

1、数学运算

2、数学抽象

【自主学习】

1. 空间向量基本定理

定理：如果三个向量 a，b，c不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，

使得 p＝xa＋yb＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2.单位正交基底

空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底，

常用{i

，

k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。

【小试牛刀】

1.判断正错

(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( )

(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c全不是零向量．( )

(3)如果向量 a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a与b共线．( )

(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．( )

2．在下列两个命题中，真命题是(　　)

① 若三个非零向量 a，b，c不能构成空间的一个基底，则 a，b，c共面；

②若a，b是两个不共线向量,而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底．

A．仅① B．仅② C．①② D．都不是

【经典例题】

题型一　基底的判断

判断标准：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基

底．

方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线

性表示，则不能构成基底．

② 假设

＝

λb

＋

μc

，运用空间向量基本定理，建立

，

的方程组，若有解，则共面，不

能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．

例1 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①

{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

[跟踪训练] 1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋

2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底．

题型二　用基底表示向量

注意：用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四

边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选

的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．

例2 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是 AD1，BD

的中点．

(1)用向量 a，b，c表示D1B，EF；

(2)若D1F＝xa＋yb＋zc，求实数 x，y，z的值．

[跟踪训练] 2 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H分别是△ABC，△OBC

的重心，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC 的中点．试用向量 a，b，c表

示向量OG和GH.

【当堂达标】

1. 以下四个命题中正确的是(　　)

A．基底{a，b，c}中可以有零向量

B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底

C．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0

D．空间向量的基底只能有一组

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