1.1.2 空间向量的数量积运算-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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1.1.2 空间向量的数量积运算

【学习目标】

课程标准学科素养

1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.

2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）

3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难

点）

1、逻辑推理

2、数学运算

3、数学抽象

【自主学习】

1. 空间向量的夹角

(1)已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b

的，记作．

(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是，其中当〈a，b〉

＝0时，a与b ；当〈a，b〉＝π时，a与b ；当〈a，b〉＝时，a与b ．反之，若

a∥b，则〈a，b〉＝；若 a⊥b，则〈a，b〉＝。

2. 空间向量数量积

（1）概念：已知两个非零向量 a，b，则叫做 a，b的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|

a||b|cos〈a，b〉．

（2）投影向量：向量 a向向量 b投影，得到 c=|a||b|cos〈a，b〉= ,向量 c称为向量 a在向

量b上的投影向量。

（3）性质

a⊥b⇔ ， |a|2＝

， |a|＝，cos〈a，b〉＝

（4）运算律

λ(a·b)＝，a·b＝

(交换律)． a·(b＋c)＝

(分配律)．

特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．

【小试牛刀】

1. 判断正错

(1)若非零向量 a，b为共线且同向的向量，则 a·b＝|a||b|.( )

(2)对于向量 a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( )

(3)对任意向量 a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( )

(4)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，可得 a＝c.( )

2．对于向量 a、b、c和实数 λ，下列命题中的真命题是 (　　)．

A．若 a·b＝0，则 a＝0或b＝0

B．若 λa＝0，则 λ＝0或a＝0

C．若 a2＝b2，则 a＝b或a＝－b

D．若 a·b＝a·c，则 b＝c

【经典例题】

题型一　数量积的计算

注意：(1)已知 a，b的模及 a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．

(2)如果要求的是关于 a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展

开，再利用 a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．

例1　如图所示，在棱长为 1的正四面体 ABCD 中，E，F分别是 AB，AD 的中点，求：

(1)EF·BA； (2)EF·BD； (3)EF·DC； (4)AB·CD.

[跟踪训练] 1 已知正四面体 O—ABC 的棱长为 1.

求：(1)OA·OB； (2)(OA＋OB)·(CA＋CB)；

(3)|OA＋OB＋OC|.

题型二　用数量积证明垂直问题

注意：（1）证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为 0来判断两直线

是否垂直．

(2)证明与空间向量 a，b，c有关的向量 m，n垂直的方法

先用向量 a，b，c表示向量 m，n，再判断向量 m，n的数量积是否为 0.

例2 如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以 D为直角顶点的直角三角形，且 AD＝BD＝

CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面 ADC.

[跟踪训练] 2 已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么 AD 与BC 的位置关系

为_______．(填“平行”或“垂直”)

题型三用数量积求角度

注意：求两个空间向量 a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式

cos〈a，b〉＝，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另

一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题

例3　如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱 CC1的中点，则异面

直线 AB1和BM 所成的角的大小是______．

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