1.1.2 空间向量的数量积运算 教师版人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义

3.0 envi 2025-04-11 4 4 394.52KB 15 页 3知币
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空间向量的数量积
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量 a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量 a与b的数量积，记作 a·b，
即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
设 是非零向量，
e
是单位向量，则
①
| | cos ,a e e a a a e  
 
；
②
0a b a b   
 
 
；
③
2
| |a a a 
 
或
| |a a a 
 
；
④
cos , | | | |
a b
a b a b

；
⑤
| | | | | |a b a b 
 
 
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（
a）·b=
（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
1
（1）对于三个不为 0的实数 a、b、c，若 a·b=a·c，则 b=c；对于三个不为 0的向量，
若
a b a c 
   
不能得出
b c
 
，即向量不能约分．
（2）若 a·b=k，不能得出
k
ab
（或
k
ba
），就是说，向量不能进行除法运算．
（3）对于三个不为 0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为 0的向量 a、b、c，
有
( ) ( )a b c a b c  
                 
，向量的数量积不满足结合律．
要点二、 空间两个向量的夹角．
1. 定义：已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 D，作
OA a

，
OB b
，则∠AOB 叫做向量 a
与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量 a、b的夹角的余弦
cos , | | | |
a b
a b a b
 
。
要点诠释：
1. 规定：
 ba,0
2. 特别地，如果
0, ba
，那么
与
b
同向；如果
ba,
，那么
与
b
反向；
如果
0
90, ba
，那么
与
b
垂直，记作
ba
。
2. 利用空间向量求异面直线所成的角
2
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角
或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两
向量的夹角的补角。
要点三、空间向量的长度。
1. 定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地 a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量 a的模：
2
| |a a
。
将其推广：
2 2 2
| | ( ) 2a b a b a a b b  
；
2 2 2 2
| | ( ) 2 2 2a b c a b c a b c a b b c c a   
。
要点四、空间向量的垂直。
若
,2
a b
 
，则称 a与b互相垂直，并记作 a b⊥．
根据数量积的定义：
a
⊥
b
⇔
a
·
b
＝0
【典型例题】
类型一：空间向量的数量积
3
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