1.1.1 空间向量及其线性运算-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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1.1.1 空间向量及其线性运算

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解空间向量的概念.(难点)

2.掌握空间向量的线性运算.(重点)

3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点)

1、逻辑推理

2、数学运算

【自主学习】

1、空间向量的概念及几类特殊向量

名称定义

空间向量在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫

做向量的______

单位向量长度或模为______的向量

零向量 ______的向量

相等向量方向______且模______的向量

相反向量 ______相反且______相等的向量

2、空间向量的表示

空间向量可以用 a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，向量 a的

起点是 A，终点是 B，则向量 a也可记作AB，其模记为 .

3、空间向量的加、减法运算、数乘运算

（1）a＋b=OA＋AB＝________；

（2）a- b＝OA－OC＝________.

（3）当 λ>0 时，λa=OA= ；当 λ<0时，λa=OA= ；λ＝0时，λa＝0

运算律：交换律 a＋b＝ ______；结合律(a＋b)＋c＝ .

分配律 λ(a＋b)＝

， (λ＋μ)a＝

。

4、共线向量

(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平

行向量.

(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a

，

b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数 λ使______

__.

5、方向向量

在直线 l上取非零向量 a，我们把与向量 a平行的成为直线 l的方向向量。也就是说

直线可以由其一点和它的方向向量确定。

6、共面向量

定义：平行于________________的向量叫做共面向量.

I、证明空间三个向量共面，常用如下方法：

(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 a＝xb＋yc，则向量

a，b，c共面；

(2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α平行.

II、对空间四点 P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：

(1)MP＝xMA＋yMB；

(2)对空间任一点 O，OP＝OM＋xMA＋yMB；

(3)对空间任一点 O，OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)；

(4)PM∥AB(或PA∥MB，或PB∥AM).

【小试牛刀】

1、判断正错

(1)零向量没有方向．( )

(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( )

(3)平面内所有的单位向量是相等的．( )

(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( )

(5)任何两个向量均不可以比较大小( )

2、在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量AD相等的向量共有(　　)

A.1 个 B.2 个　　　C.3 个　　　D.4 个

3.已知空间四边形 ABCD 中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD等于(　　)

A.a＋b－c B.－a－b＋c

C.－a＋b＋cD.－a＋b－c

【经典例题】

题型一空间向量概念

注意：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．

例1　给出下列命题：

① 零向量没有确定的方向；

② 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AC＝A1C1；

③ 若向量 a与向量 b的模相等，则 a，b的方向相同或相反；

④ 在四边形 ABCD 中，必有AB＋AD＝AC.

其中正确命题的序号是________.

[跟踪训练] 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)

A．若向量 a，b平行，则 a，b所在直线平行

B．若|a|＝|b|，则 a，b的长度相等而方向相同或相反

C．若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，则AB＞CD

D．相等向量其方向必相同

(2)如图所示，在平行六面体 ABCDA′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与

向量 AA′ 相等的向量有 ___ _____ ；与向量 A′B′ 相反的向量有 _

_.(要求写出所有适合条件的向量)

题型二空间向量的线性运算

注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；

2.要注意数形结合思想的运用.

例2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

[跟踪训练] 2 如图，已知正方体 ABCDA′B′C′D′，点 E是上底面 A′B′C′D′

的中心，求下列各式中 x，y，z的值.

(1)BD′＝xAD＋yAB＋zAA′；

(2)AE＝xAD＋yAB＋zAA′.

题型三向量的共线及判定

例3 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E在A1D1上，且 A1E ＝

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