§2.1　 复数--2020-2021学年高二数学下学期期末考试讯速提分复习方案（江苏专用）（解析版）

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§2.1　 复数
一、【知识梳理】
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)的数叫复数，其中
a
，
b
分别是它的实部和虚部．若
b
＝0，则
a
＋
b
i 为实数；若
b
≠0，则
a
＋
b
i 为虚数；若
a
＝0 且
b
≠0，则
a
＋
b
i 为纯虚数．
一个复数为纯虚数，不仅要求实部为 0，还需要求虚部不为 0.
(2)复数相等：
a
＋
b
i＝
c
＋
d
i⇔
a
＝
c
且
b
＝
d
(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)．
(3)共轭复数：
a
＋
b
i 与
c
＋
d
i 共轭⇔
a
＝
c
，
b
＝－
d
(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)．
(4)复数的模：
向量OZ的模
r
叫做复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)的模，记作|
z
|或|
a
＋
b
i|，即|
z
|＝|
a
＋
b
i|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数
z
＝
a
＋
b
i 复平面内的点
Z
(
a
，
b
)(
a
，
b
∈R)．
(2)复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R) 平面向量OZ.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设
z
1＝
a
＋
b
i，
z
2＝
c
＋
d
i(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)，则
① 加法：
z
1＋
z
2＝(
a
＋
b
i)＋(
c
＋
d
i)＝(
a
＋
c
)＋(
b
＋
d
)i；
② 减法：
z
1－
z
2＝(
a
＋
b
i)－(
c
＋
d
i)＝(
a
－
c
)＋(
b
－
d
)i；
③ 乘法：
z
1·
z
2＝(
a
＋
b
i)·(
c
＋
d
i)＝(
ac
－
bd
)＋(
ad
＋
bc
)i；
④ 除法：＝＝＝＋i (
c
＋
d
i≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设
z
1，
z
2，
z
3∈C，则复数加法满足以下运算律：
① 交换律：
z
1＋
z
2＝
z
2＋
z
1；
② 结合律：(
z
1＋
z
2)＋
z
3＝
z
1＋(
z
2＋
z
3)．
[常用结论]
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)
1 2 1 2
z z z z  
；(2)
1 2 1 2
z z z z  
；(3)
2 2
z z z z 
；(4)
1 2 1 2 1 2
z z z z z z  
；
1
(5)
1 2 1 2
z z z z 
；(6)
1
1
2 1
z
z
z z
.
***数的三角形式、运算及其几何意义
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数 z＝a＋bi都可以表示成 r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数 z的模；θ是以 x轴
的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi的辐角，我们规定在 0≤θ＜
2π 范围内的辐角 θ的值为辐角的主值，通常记作 arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数 z＝a＋bi的三角表示式，
简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且 z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)=
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2)＝
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐
角所得的差.
二、【典例剖析】
考点一 ：复数的有关概念与性质
【典例 1】若复数
2
1
zi
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
z
的虚部为
i
C．
1z i 
D．
2
2z i
【答案】D
【解析】
因为
2 2(1 ) 1
1 (1 )(1 )
i
z i
i i i
 
 
，所以
2 2
| | 1 1 2z  
，故 A 错；
z
的虚部为 1，故 B 错；
1z i 
，故 C 错；
2 2
(1 ) 2z i i 
，故 D 正确.
故选：D
【典例 2】已知
a
∈R，若
a
–1+(
a
–2)
i
(
i
为虚数单位)是实数，则
a
=（ ）
2
A．1 B．–1 C．2 D．–2
【答案】C
【解析】
因为
( 1) ( 2)a a i 
为实数，所以
2 0 2a a  ，
，
故选：C
【典例 3】已知复数
( 2i)(1 i)a 
的实部为 0，其中
i
为虚数单位，则实数
a
的值是_____.
【答案】2.
【解析】
2
(a 2 )(1 i) 2 2 2 ( 2)i a ai i i a a i    
，
令
2 0a 
得
2a
.
【总结提升】
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关
概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b R)∈的形式，再根据题意求解．
【变式探究】
1.设
z
=i(2+i)，则
z
=（ ）
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
【答案】D
【解析】
2
i(2 i) 2i i 1 2iz  
，
所以
1 2z i 
，选 D．
2.设复数
z
满足(1+i)
z
=2i，则∣
z
∣=（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
2
D．2
3
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