【新教材精创】1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（2）导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册

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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (2)
1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两 异面直线所成角.
2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.
3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.
重点：理解运用向量方法求空间角的原理
难点：掌握运用空间向量求空间角的方法
一、自主导学
1.利用向量方法求两异面直线所成角
若两异面直线 l1,l2所成角为 θ,它们的方向向量分别为 a,b,则有
cos θ=| cos < a , b >| =
|a·b|
|a||b|
.
特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是
(
0 , π
2
]
,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关
系.
2.利用向量方法求直线与平面所成角
1
若直线 l与平面 α所成的角为 θ,直线 l的方向向量为 a,平面 α的法向量为 n,
则有 sin θ=| cos < a , n >| =
|a·n|
|a||n|
特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
3.利用向量方法求二面角
(1)若二面角 α-l-β 的平面角的大小为 θ,其两个面 α,β的法向量分别为 n1,n2, 则|cos θ|=|cos<n1,n2>|=
|n1·n2|
|n1||n2|
(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β内,各取一条与棱 l
垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.
特别提醒：由于二面角的取值范围是[0,π],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定,因此不能认
为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角,从而求得
其大小.
二、小试牛刀
1.若异面直线 l1,l2的方向向量分别是 a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线 l1与l2的夹角的余弦值等于(
　　
)
A.-
2
5
B.
2
5
C.-
D.
2
√
5
5
2.若直线 l的方向向量与平面 α的法向量的夹角等于 120°,则直线 l与平面 α所成的角等于(
　　
)
A.120° B.60° C.150° D.30°
3.二面角 α-l-β 中,平面 α的一个法向量为 n1=
(
√
3
2,- 1
2,-
√
2
)
,平面 β的一个法向量是 n2=
(
0 , 1
2,
√
2
)
,那么二面
角α-l-β的大小等于(
　　
)
2
A.120° B.150° C.30°或150° D.60°或120°
一、情境导学
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与
天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽 9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上
的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠
以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来.
问题：空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些?
答案：线线角、线面角、二面角; 传统方法和向量法.
二、典例解析
例1. 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱 AB,BB1
的中点,试求直线 EF 和BC1所成的角.
3
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