【新教材精创】1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.0 envi 2025-04-11 11 4 941.91KB 18 页 3知币
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1.4.1 用空间向量研究直线、平面
的位置关系（1）
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系
难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系
一、自主导学
（一）空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点 O作为基点,那么空间中任意一点 P就可以用向量
⃗
OP
来表示.我们把向量
⃗
OP
称
为点 P的位置向量.如图.
1
2.空间直线的向量表示式
如图①,a是直线 l的方向向量,在直线 l上取
⃗
AB
=a,设P是直线 l上的任意一点,则点 P在直线 l上的充要条件
是存在实数 t,使得
⃗
AP
=ta,即
⃗
AP
=t
⃗
AB
.如图②,取定空间中的任意一点 O,可以得到点 P在直线 l上的充要条
件是存在实数 t,使
⃗
OP=
⃗
OA
+ta,
　
①
或
⃗
OP=
⃗
OA
+t
.
　
②
① 式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确
定.
　
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点 O,空间一点 P位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x,y,使
⃗
OP=
⃗
OA
+x
⃗
AB
+y
⃗
AC
.
我们把这个式子称为空间平面 ABC 的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量
唯一确定.
4.平面的法向量
如图,直线 l⊥α,取直线 l的方向向量 a,我们称向量 a为平面 α的法向量.给定一个点 A和一个向量 a,那么过点
A,且以向量 a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·
⃗
AP
=0}.
2
点睛：空间中,一个向量成为直线 l的方向向量,必须具备以下两个条件:
① 是非零向量;② 向量所在的直线与 l平行或重合.
（二）、空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系 向量表示
线线
平行
设μ1,μ2分别是直线 l1,l2的方向向量,则
l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得 μ1=λμ2.
线面
平行
设μ是直线 l的方向向量,n 是平面 α的法向量,
l⊄α,则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n=0.
面面
平行
设n1,n2分别是平面 α,β 的法向量,则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 n1=λn2.
点睛：1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量 μ1∥μ2.此外,证明线
面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面
无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.
二、小试牛刀
1.下列说法中正确的是(
　　
)
A.直线的方向向量是唯一的 B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C.直线的方向向量有两个 D.平面的法向量是唯一的
2.若直线 l过点 A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线 l的一个方向向量可以是(
　　
)
A.
(
- 1, 1
2,- 3
2
)
B.
(
- 1,- 1
2,3
2
)
C.
(
1 , 1
2,3
2
)
D.
(
-2
3,1
3,1
)
3.若两个向量
⃗
AB
=(1,2,3),
⃗
AC
=(3,2,1),则平面 ABC 的一个法向量为(
　　
)
3
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