【新教材精创】1.3 空间向量及其运算的坐标表示（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.0 envi 2025-04-11 11 4 633.76KB 16 页 3知币

侵权投诉

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示

2.掌握空间向量运算的坐标表示

3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用

4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题

重点：理解空间向量的坐标表示及其运算

难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题

一、平面向量坐标表示及其运算

已知 =( , )，=( , )，写出下列向量的坐标表示

+ =( + ，+ ) ；- =( - ，- )；=( ，)；=

// =0； ⊥ =0

设，则或

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为

(x1, y1)

、

(x2, y2)

，

那么； cos =

2121

yxyx

yyxx







（

0≤θ≤π

）

一、情境导学

我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:

“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体

系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的

办法…….”

吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数

化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.

二、探究新知

一、空间直角坐标系与坐标表示

1.空间直角坐标系

在空间选定一点 O和一个单位正交基底

{

i , j, k

}

,以点 O为原点,分别以 i,j,k的方向为正方向、以它们的长为

单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz,O

叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 Oxy 平面,Oyz 平面,Ozx 平

面.

1.画空间直角坐标系 Oxyz 时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.

2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x轴的正方向,食指指向 y轴的正方向,如果中指指向 z轴的正方向,则

称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.

2.点的坐标

在空间直角坐标系 Oxyz 中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点 A,对应一个向量

⃗

,且点 A的位置由向量

⃗

唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

⃗

=xi+yj+zk.在单位正交基底

{

i,j,k

}

下

与向量

⃗

对应的有序实数组(x,y,z),叫做点 A在空间直角坐标系中的坐标,记作 A(x,y,z),其中 x叫做点 A的横

坐标,y叫做点 A的纵坐标,z叫做点 A的竖坐标.

3.向量的坐标

在空间直角坐标系 Oxyz 中,给定向量 a,作

⃗

OA =a

由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做 a在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,可简记作 a=(x,y,z).

小试牛刀

1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为

.

(3,2,-1)

答案:向量

⃗

的坐标恰好是终点 P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.

思考：在空间直角坐标系中,向量

⃗

的坐标与终点 P的坐标有何关系?

二、空间向量运算的坐标表示

1.空间向量的坐标运算法则

设向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么

向量运算向量表示坐标表示

加法 a+b 　　　　　　　　　

减法 a-b 　　　　　　　　　

数乘 λa 　　　　　　　　　

数量积 a·b 　　　　　　　　　

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

【新教材精创】1.3 空间向量及其运算的坐标表示（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx

共16页,预览5页

还剩页未读，继续阅读

【新教材精创】1.3 空间向量及其运算的坐标表示（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: