【新教材精创】1.2 空间向量基本定理（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.0 envi 2025-04-11 8 4 427.99KB 11 页 3知币

侵权投诉



1.2 空间向量基本定理

1.掌握空间向量基本定理.

2.了解空间向量正交分解的含义.

3.会用空间向量基本定理解决有关问题.

重点：掌握空间向量基本定理

难点：用空间向量基本定理解决有关问题.

一、温故知新

1．平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：[来源:Z.xx.k.Com]

① 平移：将

⃗

e1,

⃗

e2,

⃗

平移成同一始点的向量．

② 平行投影：过

⃗

平移后所得向量的终点分别作

⃗

e1,

⃗

平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，

得

⃗

在

⃗

e1,

⃗

方向上的分向量．

③ 依据共线向量定理，分别用

⃗

e1,

⃗

表示

⃗

在

⃗

e1,

⃗

方向上的分向量．

④ 求分向量的和，代入，定理得证．

平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示．

一、情境导学

我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到

三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？

二、探究新知

知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间

的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？

因此，如果

i , j, k

是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量 p存在唯一有序实数组

（x,y,z），使得 p= xi+

y j+z k

。我们称 xi,

y j,z k

分别为向量 p在

i , j, k

上的分向量。

探究

如图 1.2-1，设

i , j, k

是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点 o，对于任

意一个空间向量

⃗

OP ,

设

⃗

为

⃗

在

i , j

所确定的平面上的投影向量，则

⃗

,又向量

⃗

，

共

线，因此存在唯一实数 z，使得

⃗

QP+zk

，从而

⃗

，而在

i , j

所确定的平面上，由平面向量基本

定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得

⃗

=xi+

y j

.从而，

⃗

= xi+

y j+z k

空间向量基本定理

1.定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),

使得 p=xa+yb+zc.

2.基底:我们把定理中的

{

a , b , c

}

叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量.空间任意三个不共

面的向量都可以构成空间的一个基底.

3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为 1,那么这个基底叫做单位正交基

底,常用

{

i , j, k

}

表示.

由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量 a,均可以分解为三个向量 xi,yj,zk,

使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

定理辨析

1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;

不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.

2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.

3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明

它们都不是零向量.

做一做

1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.

(1)空间向量的基底是唯一的.(

)

(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(

)

(3)已知 A,B,M,N是空间四点,若

⃗

不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(

)

(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数 x,y,z使得 xa+yb+zc=0,则有 x=y=z=0.(

)

2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:

①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(

)

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

【新教材精创】1.2 空间向量基本定理（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx

共11页,预览4页

还剩页未读，继续阅读

【新教材精创】1.2 空间向量基本定理（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: