【新教材精创】1.1 空间向量及其运算（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册

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1.1 空间向量及其运算

1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量

等的概念；

2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；

3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.

重点：理解空间向量的概念

难点：掌握空间向量的运算及其应用

一、温故知新

1.平面向量的概念

名称定义备注

向量

既有又有的量。

向量的大小叫做向量的长度或模

平面向量是自由向量

零向量长度等于 0的向量，其方向是任意的记作 0

单位向量长度等于 1个单位的向量与非零向量共线的单位向量为

平行向量

(或共线向量)

方向的向量 0与任一向量平行（或共线）

相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比大小

相反向量长度且方向的向量 0的相反向量为

2.向量的线性运算

（1）加法：是指求两个向量和的运算；

法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。

（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；

法则（几何意义）：三角形法则。

（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；

法则（几何意义）：① ； ②当时，与的方向；

③ 当时，与的方向；④四时， =

3.共线向量定理

向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数 λ，使得。

4.平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，

一对实数使，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的

一组基底。

结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；

（2）三终点 A,B,C 共线 存在实数使得 =，且

5.两个向量的夹角

（1）定义：一直两个非零向量，作，则 ∠

叫做与的夹角。

（2）范围：夹角的取值范围是。

① 当与同向时， = ；②反向时， = ；③当与垂直时， = ，并记作

⊥ 。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件

（1）与的夹角是锐角· 0 且与不共线；

（2）与的夹角是钝角· 0 且与不共线。

7.平面向量的数量积

（1）定义： · = ，规定 · = ；

（2）坐标表示： · = ，其中；

（3）运算律

① 交换律： · = ；②结合律 · = ；

③ 数乘： · = .

（4）在方向上的投影是；

（5）·的几何意义：数量积 ·等于的模| |与在的方向上的投影的乘积。

8.向量数量积的性质

设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则

（1）== ；（2）⊥ ；（3）· = ；（4）|· |≤| |·| |.

一、情境导学

章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小

各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题

的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研

究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。

二、探究新知

知识点一　空间向量的概念

思考 1.　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.

(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.

空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是 A，终点是 B，则 a也可记作AB，

其模记为__________.

(2)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量规定长度为 0的向量叫_______，记为 0

单位向量 ______的向量叫单位向量

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