【全国卷】决战2021高考数学压轴题专练（文）05

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决战 2021 高考压轴题（文）03
1．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））在长方体 中， ，
，点 为 的中点，若三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，则球 的表
面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：
在长方体 中，因为 ，点 为 的中点，
所以 ,
又因为 ，
所以 ， ，
又 ，所以 为正三角形，
设 的中心为 ，
过 作 ， ， ， ，
过 作直线 l垂直于平面 ，
1
则球心 O必在直线 l上，过球心 O作 ，
又因为 平面 ，
故 是矩形，且 ，
设 ，则 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以其外接球的表面积是 ，
故选：D
2．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））设有下列四个命题：
：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．
：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合．
：若三个平面两两相交，则交线互相平行．
：若直线 平面 ，直线 直线 ，则直线 平面 ．
则下述命题中所有真命题的序号是______．
① ② ③ ④
【答案】②④
【解析】
2
在如图所示的正方体中，
直线 共点 ，此时三条直线不在同一平面内， 为真命题；
平面 、 和 两两相交，但交线 不互相平行， 为假命题；
设直线 为直线 ，平面 为平面 ，则 ；设直线 为直线 ，此时 ，且
， 为假命题；
不共线的三点确定唯一的一个平面， 若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合，即
为真命题；
为假命题，①错误； 为真命题，②正确； 为假命题，③错误；
为真命题，④正确.故答案为：②④
3．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））如图，已知三棱柱 的底面是边长为 2的
正三角形，侧面 为菱形， 为其两对角线的交点， ， ， ， 分
别为 ， 的中点，顶点 在底面 的射影 为底面中心．
3
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