【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 数列大题（精解精析）

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）
数列大题（精解精析）
1．(2021 年高考全国甲卷文科)记 为数列 的前 n项和，已知 ，且数列 是等差
数列，证明： 是等差数列．
【答案】证明见解析．
解析：∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列．
【点睛】在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况．
2．(2021 年全国高考乙卷文科)设 是首项为 1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 和 分别为 和 的前 n项和．证明： ．
1
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析．
解析：因为 是首项为 1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 ．
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ② 得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【点晴】本题主要考查数列
的
求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题．
2
3．(2020 年高考数学课标Ⅲ卷文科)设等比数列{an}满足 ， ．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记 为数列{log3an}
的
前n项和．若 ，求 m．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，
所以 ；
（2）令 ，
所以 ，
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能
力，属于基础题目．
4．(2019 年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知 是各项均为正数的等比数列， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和.
【答案】解：（1）设 的公比为 ，由题设得 ，即 .
解得 （舍去）或 .
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前 项和为 .
5．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷文科)(12 分)等比数列 中， ．
3
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