【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 平面向量（精解精析）

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）
平面向量（精解精析）
一、选择题
1．(2020 年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知单位向量 ， 的夹角为 60°，则在下列向量中，与 垂直的是
(　　)
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得： ．
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面
向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力．
2．(2020 年高考数学课标Ⅲ卷文科)在平面内，A
．
B是两个定点，C是动点，若 ，则点 C的轨迹
为 (　　)
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设 ，以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
1
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点 C的轨迹是以 AB 中点为圆心， 为半径的圆．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力．
3．(2019 年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知向量 ，则 (　　)
A．B．2 C．D．50
【答案】A
【解析】由已知， ，所以 ，故选 A
【点评】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
4．(2019 年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角
为 (　　)
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 ，且 ， ，有 ，设 与 的夹角为 ，
则 有 ， 即 ， ， ，
2
， ，故 与 的夹角为 .
5．(2019 年高考数学课标Ⅰ卷文科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的
长度之比是 ，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，
且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是
(　　)
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
方法一：
设头顶处为点 ，咽喉处为点 ，脖子下端处为点 ，肚脐处为点 ，腿根处为点 ，足底处为 ，
， ， 根 据 题 意 可 知 , 故 ； 又 ，
，故 ；所以身高 ，将 代入可得
.根据腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 可得 ， ；即
， ，将 代入可得 ，所以 .
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度 可估值为
头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 （
称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 ；将人体的头顶至咽喉的
长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为 ，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长
3
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