【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 立体几何大题（精解精析）

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）
立体几何大题（精解精析）
1．(2021 年高考全国甲卷文科)已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和 的中点， ．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)已知 D为棱 上的点，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析．
解析：(1)如图所示，连结 AF，
1
由题意可得： ，
由于 AB⊥BB1，BC⊥AB， ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，
从而有 ，
从而 ，
则 ， 为等腰直角三角形，
， ．
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为 2的正方体 ，如图所示，取棱
的中点 ，连结 ，
2
正方形 中， 为中点，则 ，
又 ，
故 平面 ，而 平面 ，
从而 ．
【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，
我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线
面、面面）的证明经常进行等价转化．
2．(2021 年全国高考乙卷文科)如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的
中点，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求四棱锥 的体积．
3
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