【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 导数大题（精解精析）

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）
导数大题（精解精析）
1．(2021 年高考全国甲卷文科)设函数 ，其中 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 的图像与 轴没有公共点，求 a的取值范围．
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） ．
解析：（1）函数
的
定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 ．
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即
.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离
后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化．
1
2．(2021 年全国高考乙卷文科)已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) ．
解析：(1)由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在 R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在 R上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增．
(2)由题意可得： ， ，
2
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ,
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
即曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 ．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，
所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，
对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相
联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值
(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
3．(2020 年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
3
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