《中考数学十大题型专练卷题型》09 几何类比、拓展、探究题（解析版）

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备战 2020 年中考数学十大题型专练卷
题型 09 几何类比、拓展、探究题
一、解答题
1．如图 1， （ ）绕点 顺时针旋转得 ，射线 交射线 于点 ．
（1） 与 的关系是　 　；
（2）如图 2，当旋转角为 60°时，点 ，点 与线段 的中点 恰好在同一直线上，延长 至点 ，
使 ，连接 ．
① 与 的关系是　 　，请说明理由；
②如图 3，连接 ，若 ， ，求线段 的长度．
【答案】（1） ；（2）① 或 ，理由见解析；
②
【分析】（1）如图 1， 与 的交点记作点 ，由旋转的性质与三角形内角和定理得到
，即可求解；
（2）①如图 2，连接 ，由旋转的性质及全等三角形的性质得到 ∽ ，故
，即可证明 ≌ ，再得到 ，即可得到结论；
②由①得 ， ，由角度的关系得到 ，
再 证明 ，再利用等腰三角形的性质得到 ，再利用直角三角形三角
函数求出 ，即可求出 AE 的长.
【详解】解：（1）如图 1，
与 的交点记作点 ，由旋转知， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
1
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）① 或 ，
理由：如图 2，连接 ，由旋转知， ， ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ≌ （ ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ；
②由①知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由①知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
2
∵ ，
∴ ，
∴
在 中， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形、直角三角形、相似三角
形的判定与性质及三角函数进行求解.
2．（问题）
如图 1，在 中， ，过点 作直线 平行于 ． ，点 在
直线 上移动，角的一边 始终经过点 ，另一边 与 交于点 ，研究 和 的数量关系．
（探究发现）
（1）如图 2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点 移动到使点 与点 重合
时，通过推理就可以得到 ，请写出证明过程；
3
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