《中考数学考点必杀500题（通用版）》专练15（函数压轴大题）（30题）（解析版）

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2021 中考考点必杀 500 题
专练 15（函数压轴大题）（30 道）
1．（2021·广东九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+bx+c交x轴于点 A（﹣
3，0）、B（1，0），在 y轴上有一点 E（0，1），连接 AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 D为抛物线在 x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE 面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P点的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）△ADE 的面积最大值为 ．（3）点 P的坐标为（-1， ）或（-1，-
）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）．
解：（1）∵二次函数 y＝x2+bx+c经过点 A（-3，0）、B（1，0），
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 y=x2+2x-3；
（2）设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，
∵过点 A（-3，0），E（0，1），
1
∴ ，
解得： ，
∴直线 AE 解析式为 y=x+1，
如图，过点 D作DG⊥x轴于点 G，延长 DG 交AE 于点 F，
设D（m，m2+2m-3），则 F（m，m+1），
∴DF=-m2-2m+3+ m+1=-m2-m+4，
∴S△ADE=S△ADF+S△DEF
= ×DF×AG+DF×OG
= ×DF×（AG+OG）
= ×3×DF
=（-m2-m+4）
2
=- m2-m+6
=，
∴当 m=- 时，△ADE 的面积取得最大值为 ．
（3）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线对称轴为直线 x=-1，
设P（-1，n），
∵A（-3，0），E（0，1），
∴AP2=（-1+3）2+（n-0）2=4+n2，AE2=（0+3）2+（1-0）2=10，PE2=（0+1）2+（1-n）2=（n-1）2+1，
①若 AP=AE，则 AP2=AE2，即 4+n2=10，解得 n=± ，
∴点 P（-1， ）或（-1，-）；
②若 AP=PE，则 AP2=PE2，即 4+n2=（n-1）2+1，解得 n=-1，
∴P（-1，-1）；
③若 AE=PE，则 AE2=PE2，即 10=（n-1）2+1，解得 n=-2 或n=4，
∴P（-1，-2）或（-1，4）；
综上，点 P的坐标为（-1， ）或（-1，-）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）．
2．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学九年级一模）如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c交x轴于 A、B两点（点 A
在点 B的左侧），交 y轴于点 C（0，5），连接 BC，其中 OC＝5OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，将直线 BC 沿y轴向上平移 6个单位长度后与抛物线交于 D、E两点，交 y轴于点 G，若点 P
是抛物线上位于直线 BC 下方（不与 A、B重合）的一个动点，过点 P作PM∥y轴交 DE 于点 M，交 BC 于
点H，过点 M作MN⊥BC 于点 N，求 PM＋NH 的最大值及此时点 P的坐标；
（3）如图 2，当点 P满足（2）问条件时，将△CBP 绕点 C逆时针旋转 α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此
时点 B′恰好落到直线 ED 上，已知点 F是抛物线上的动点，在直线 ED 上是否存在一点 Q，使得以点 C、B
′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由．
3
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