《中考数学考点必杀500题（通用版）》专练12（几何证明大题）（30题）（解析版）

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2021 中考考点必杀 500 题
专练 12（几何证明大题）（30 道）
1．（2021·山东济宁市·九年级一模）在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D是BC 的中点，E是AD 的中点，过
点A作AF∥BC 交BE 的延长线于点 F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形 ADCF 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
（1）∵ ，
∴ ，
∵E是AD 的中点，
∴ ，
在△AEF 与△DEB 中，
∴ ；
（2）由（1）可知， ，
∵D是BC 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 ADCF 是平行四边形，
又∵△ABC 为直角三角形，
1
∴ ，
∴四边形 ADCF 是菱形．
2．（2021·湖南娄底市·九年级一模）如图，已知平行四边形 ABCD，若 M，N是BD 上两点，且 BM＝
DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形 AMCN 是正方形，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=BC
（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线 BD 上的两点 M、N满足 BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即 OM=ON，
∴四边形 AMCN 是平行四边形，
∴MN=2OM，
∵ AC=2OM，
∴MN=AC，
∴四边形 AMCN 是矩形；
（2）当 AB=BC 时，四边形 AMCN 是正方形；
∵AB=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC BD⊥，
∴AC MN⊥，
由（1）可知四边形 ABCD 是矩形，
∴四边形 ABCD 是正方形；
3．（2021·云南曲靖市·九年级一模）如图，在▱ABCD 中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点 E、F分别是
2
BC、DA 的中点．
（1）求证：四边形 AECF 是菱形；
（2）若 AB＝2，求 BD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
BC AD∴ ∥ ，BC=AD．
E∵，F分别是 BC，AD 的中点
BE=CE=∴BC，AF= AD，
CE=AF∴，CE AF∥，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
BC=2AB∵，
AB=BE∴，
ABC=60°∵∠ ，
ABE∴△是等边三角形，
AE=BE=CE∴，
∴平行四边形 AECF 是菱形；
（2）解：作 BG AD⊥于G，如图所示：
则∠ABG=90°- ABC=30°∠，
3
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