《中考数学二轮专题复习之函数与实际问题真题满分过（全国通用）》专题23 二次函数中的其他问题（1）（解析版）

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专题 23 二次函数中的其他问题（1）

【真题讲解】

例．（2019·四川南充市·中考真题）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、

二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买 2支钢笔和 3个笔记本共 38 元，购

买4支钢笔和 5个笔记本共 70 元.

（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？

（2）经与商家协商，购买钢笔超过 30 支时，每增加一支，单价降低 0.1 元；超过 50 支，

均按购买 50 支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计 100

人，其中一等奖的人数不少于 30 人，且不超过 60 人，这次奖励一等学生多少人时，购买

奖品金额最少，最少为多少元？

【答案】（1）钢笔、笔记本的单价分别为 10 元，6元；（2）当一等奖人数为 50 时花费

最少，最少为 700 元.

【分析】

（1）钢笔、笔记本的单价分别为 x、y元，根据题意列方程组即可得到结论；

（2）设钢笔的单价为 a元，购买数量为 b元，支付钢笔和笔记本的总金额 w元，①当

30≤b≤50 时，求得 w=-0.1（b-35）2+722.5，于是得到 700≤w≤722.5；②当 50＜b≤60 时，求

得w=8b+6（100-b）=2b+600，700＜w≤720，于是得到当 30≤b≤60 时，w的最小值为 700 元，

于是得到结论．

【详解】

（1）设钢笔、笔记本的单价分别为、元.根据题意可得

解得： .

答：钢笔、笔记本的单价分别为 10 元，6元.

（2）设钢笔单价为元，购买数量为 b支，支付钢笔和笔记本总金额为 W元.

①当 30≤b≤50 时，

w=b（-0.1b+13）+6（100-b）

∵当时，W=720，当 b=50 时，W=700

∴当 30≤b≤50 时，700≤W≤722.5

②当 50＜b≤60 时，

a=8，

∵

∴当 30≤b≤60 时，W的最小值为 700 元

∴当一等奖人数为 50 时花费最少，最少为 700 元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次函数的解

析式是解题的关键．

【真题演练】

一、单选题

1．（2019·江苏南通市·中考真题）如图是王阿姨晚饭后步行的路程 s(单位：m)与时间 t(单

位：min)的函数图象，其中曲线段 AB 是以 B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(

)

A．25min~50min，王阿姨步行的路程为 800m

B．线段 CD 的函数解析式为

C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快

D．曲线段 AB 的函数解析式为

【答案】C

【分析】

直接观察图象可判断 A、C，利用待定系数法可判断 B、D，由此即可得答案.

【详解】

观察图象可知 5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程

为2000-1200=800m，故 A选项正确，C选项错误；

设线段 CD 的解析式为 s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得

，解得：，

所以线段 CD 的函数解析式为，故 B选项正确；

由曲线段 AB 是以 B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为 y=a(x-20)2+1200，

把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，

解得：a=-3，

所以曲线段 AB 的函数解析式为，故 D选项正确，

故选 C.

本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以 C是错

误的．

【点睛】

本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读

懂图象，正确把握相关知识是解题的关键.

二、填空题

2．（2020·山东淄博市·中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有 29 个服务驿站（包

括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要

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