《中考数学二轮复习之重难热点提分专题》十九 二次函数与三角形全等，相似问题（解析版）

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专题十九 二次函数与全等，相似问题
1．（2020•陕西）如图，抛物线 y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为
A，B，C，它的对称轴为直线 l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点 P作l的垂线，垂足为 D，E是l上的点．要使以 P、D、E为顶点的三
角形与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E的坐标．
【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以 P、D、E为顶点的三角形与△AOC 全等，分点 P在抛物线对称轴
右侧、点 P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
{
12=9+3b+c
−3=4−2b+c
，解得
{
b=2
c=−3
，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x3﹣ ；
（2）抛物线的对称轴为 x＝﹣1，令 y＝0，则 x＝﹣3或1，令 x＝0，则 y＝﹣3，
故点 A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点 C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
1
∴当 PD＝DE＝3时，以 P、D、E为顶点的三角形与△AOC 全等，
设点 P（m，n），当点 P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2 5﹣ ＝5，故点 P（2，5），
故点 E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点 P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点 P（﹣4，5），此时点 E坐标同上，
综上，点 P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点 E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
2． （ 2020• 成 都 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 抛 物 线 y＝ax2+bx+c与x轴 交 于 A（ ﹣
1，0），B（4，0）两点，与 y轴交于点 C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图 1，点 D为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记△BDE 的面积为
S1，△ABE 的面积为 S2，求
S1
S2
的最大值；
（3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O作直线 l∥BC，点 P，Q分别为直线 l和抛物线上的点．试探究：在
第一象限是否存在这样的点 P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若
不存在，请说明理由．
2
【分析】（1）设抛物线的解析式为为 y＝a（x1﹣ ）（x4﹣ ），将点 C的坐标代可求得 a的值，从而得
到抛物线的解析式；
（2）过点 D作DG⊥x轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A作AK⊥x轴交 BC 的延长线于点 K，证明
△AKE∽△DFE，得出
DF
AK =DE
AE
，则
S1
S2
=S△BDE
S△ABE
=DE
AE =DF
AK
，求出直线 BC 的解析式为 y
¿1
2
x2﹣ ，设
D（m，
1
2m2−3
2
m2﹣ ），则 F（m，
m2﹣ ），可得出
S1
S2
的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）设 P（a，
a
2
），①当点 P在直线 BQ 右侧时，如图 2，过点 P作PN⊥x轴于点 N，过点 Q作QM⊥
直线 PN 于点 M，得出 Q（
3
4
a，a2﹣ ），将点 Q的坐标代入抛物线的解析式求得 a的值即可，②当点 P
在直线 BQ 左侧时，由①的方法同理可得点 Q的坐标为（
5
4
a，2），代入抛物线的解析可得出答案．
【解析】（1）设抛物线的解析式为 y＝a（x+1）（x4﹣ ）．
∵将 C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得 a
¿1
2
，
∴抛物线的解析式为 y
¿1
2
（x+1）（x4﹣ ），即 y
¿1
2
x2
−3
2
x2﹣ ．
（2）过点 D作DG⊥x轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A作AK⊥x轴交 BC 的延长线于点 K，
3
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