专题4.4以因式分解为载体的材料阅读题（重难点培优）-八年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 4.4 以因式分解为载体的材料阅读题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷解答 25 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规
定的位置．
一．解答题（共 25 小题）
1．（2019 秋•徐闻县期中）已知：a，b，c为△ABC 的三边长，且 2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断
△ABC 的形状，并证明你的结论．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出 a＝b＝c，即可得出答案．
【解析】△ABC 是等边三角形．
证明如下：
∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴2a2+2b2+2c22﹣ab 2﹣ac 2﹣bc＝0，
∴a22﹣ab+b2+a22﹣ac+c2+b22﹣bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得 a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC 是等边三角形．
2．（2019 秋•天心区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘
数”．
如：4＝220﹣2，12＝422﹣2，20＝624﹣2，因此 4，12，20 这三个数都是神秘数．
（1）28 是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为 2k+2 和2k（其中 k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是 4的倍数
吗？为什么？
（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？
【分析】（1）利用神秘数的定义判断即可；
（2）根据题意表示出两个连续偶数的平方差，利用平方差公式化简即可做出判断；
（3）①根据神秘数得定义，只要证明此长方形的周长为两连续偶数的平方差便可；
②面积不为神秘数，用反证法进行说明．
【解析】（1）∵28＝826﹣2，
1
∴28 是神秘数；
2014 不是神秘数，神秘数必须是 4的倍数；
（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是 4的倍数，
∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），
∴神秘数是 4的倍数；
（3）①设长方形相邻两边长分别为 2n+2 和2n，（n为正整数），则其周长为：
2[（2n+2）+2n]＝8n+4，
∵（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，
∴此长方形的周长＝（2n+2）2﹣（2n）2，即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，
∴该长方形的周长一定为神秘数；
②该长方形的面积不为“神秘数”，理由如下：
长方形的面积为：（2n+2）•2n＝4n（n+1），
设两个连续的偶数为 2k+2 和2k，（k为非负整数），
假设此长方形的面积为“神秘数”，则 4n（n+1）＝（2k+2）2﹣（2k）2，即 4n（n+1）＝8k+4，
∴n（n+1）＝2k+1，
∵n为正整数，
∴n（n+1）必为偶数，
而2k+1 为奇数，
∴n（n+1）＝2k+1 不成立，
∴假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，
故该长方形的面积不为“神秘数”．
3．（2020 春•柯桥区期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为
（ a + b + c ） 2
＝ a 2
+ b 2
+ c 2
+2 ab +2 ac +2 bc 　 （只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数 a，b，c满足 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求 a2+b2+c2的值；
②若三个实数 x，y，z满足 2x×4y×8z
¿1
16
，x2+4y2+9z2＝40，求 2xy+3xz+6yz 的值．
2
【分析】（1）根据图形，由面积的不同表示方法得出等式即可；
（2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可；
②先求出 x+2y+3z＝﹣4，再根据（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz）求出即可．
【解析】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）
＝1122×38﹣
＝45；
②∵2x×4y×8z
¿1
16
，
∴2x×22y×23z
¿1
16
，
∴2x+2y+3z＝24﹣，
∴x+2y+3z＝﹣4，
∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz），x2+4y2+9z2＝40，
∴（﹣4）2＝40+2（2xy+3xz+6yz），
∴2xy+3xz+6yz＝﹣12．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
4．（2020 春•玄武区期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，
可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
3
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