专题1.7 一元二次方程解法（3）公式法、因式分解法（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题 1.7 一元二次方程解法（3）公式法、因式分解法
（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元
二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程 ，当 时， .
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式： ．
　　　 ①当 时，原方程有两个不等的实数根 ；
　　　 ②当 时，原方程有两个相等的实数根 ；
　　　 ③当 时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于 x的一元二次方程 的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定 a、b、c的值（要注意符号）；
1
　　　 ③求出 的值；
　　　 ④若 ，则利用公式 求出原方程的解；
　　　 　若 ，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定
要注意方法的选择.
（2）一元二次方程
2
0 ( 0)ax bx c a  
，用配方法将其变形为：
2
2
2
4
( )
2 4
b b ac
x
a a
 
.
① 当
2
4 0b ac 
时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
2
1,2
4
2
b b ac
x
a
 
.
② 当
2
4 0b ac 
时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
1,2
2
b
x
a
 
.
③ 当
2
4 0b ac 
时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为 0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
2
　　（3）令这两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解
成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式
中至少有一个等于 0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两
边不能同时除以含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
1.用公式法解下列方程．
(1) x2+3x+1=0； (2)
2
2 4 1x x 
； (3) 2x2+3x-1=0．
【答案与解析】
(1) a=1，b=3，c=1
∴x= = ．
∴x1=，x2=．
(2)原方程化为一般形式，得
2
2 4 1 0x x  
．
∵
，
4b 
，
1c
，
∴
2 2
4 ( 4) 4 2 1 8 0b ac  
．
∴
4 2 2 2
1
2 2 2
x
 
，即
1
2
12
x 
，
2
2
12
x 
．
3
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