八年级数学下册举一反三系列（人教版）专题1.8 期末满分计划之大题压轴题集训30道（人教版）（解析版）

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专题 1.8 期末满分计划之大题压轴题集训 30 道

【人教版】

1．（2020 春•江夏区期末）已知正方形 ABCD．

（1）点 P为正方形 ABCD 外一点，且点 P在AB 的左侧，∠APB＝45°．

①如图（1），若点 P在DA 的延长线上时，求证：四边形 APBC 为平行四边形．

②如图（2），若点 P在直线 AD 和BC 之间，以 AP，AD 为邻边作平行四边形 APQD，连接 AQ，求

∠PAQ 的度数．

（2）如图（3），点 F在正方形 ABCD 内且满足 BC＝CF，连接 BF 并延长交 AD 边于点 E，过点 E作

EH⊥AD 交CF 于点 H，若 EH＝3，FH＝1，当

CF =1

时，请直接写出 HC 的长　 5 　．

【分析】（1）①由正方形的性质得出 DP∥BC，∠DAC＝45°，证明 PB∥AC 即可解决问题；

②如图 2中，如图 2中，作 DT⊥DQ 交QC 的延长线于 T．证明△ADQ≌△CDT（SAS），由全等三角

形的性质即可得出答案．

（2）如图 3中，延长 EH 交BC 于M．设 AE＝x，则 CF＝BC＝3x．证明四边形 EMCD 为矩形，则 ED

＝CM＝2x，∠EMC＝90°，在 Rt△MCH 中，利用勾股定理解决问题即可得出答案．

【解答】（1）①证明：如图 1中，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴DP∥BC，∠DAC＝45°，

∴∠PAC＝135°，

∵∠P＝45°，

∴∠P+∠PAC＝180°，

∴PB∥AC，

∴四边形 APBC 是平行四边形．

②解：如图 2中，作 DT⊥DQ 交QC 的延长线于 T．

∵四边形 PADQ 是平行四边形，

∴DQ∥PA，AD∥PQ，AD＝PQ＝BC，

∵正方形 ABCD 中，AD∥BC，

∴PQ＝BC，PQ∥BC，

∴四边形 PQCB 是平行四边形，

∴QC∥PB，

∵∠APB＝45°，

∴∠APB＝∠DQC＝45°，

∵∠QDT＝90°，

∴∠T＝∠DQT＝45°，

∴DQ＝DT，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠QDT，

∴∠ADC﹣∠QDC＝∠QDT﹣∠QDC，

∴∠ADQ＝∠CDT，

又∵AD＝DC，

∴△ADQ≌△CDT（SAS），

∴∠AQD＝∠T＝45°，

∵PA∥DQ，

∴∠PAQ＝∠AQD＝45°．

（2）解：如图 3，延长 EH 交BC 于M．设 AE＝x，则 CF＝BC＝3x．

∵四边形 ABCD 为正方形，

∴AD＝BC＝CD＝3x，∠D＝∠DCM＝90°，

∵EH⊥AD，

∴四边形 EMCD 为矩形，

∴ED＝CM＝2x，∠EMC＝90°，

∵EH＝3，FH＝1，

∴HC＝3x1﹣，MH＝3x3﹣，

在Rt△CHM 中，∵HC2＝MH2+CM2，

∴（3x1﹣）2＝（3x3﹣）2+（2x）2，

解得，x＝2或x＝1（不合题意舍去），

∴HC＝5．

故答案为：5．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和

性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．

2．（2020 春•黄陂区期末）如图，在矩形 ABCD 中，E为BC 上一点，以 DE 为边作矩形 DEGF，其中 GF

经过点 A，连接 AE．

（1）如图 1，若 AE＝AD，求证：AG＝AF；

（2）连接 BG．

①如图 2，若 BG＝AG，CE＝1，AF＝2，求 AD 的长；

②如图 3，若 AB＝AD，BG＝BE，直接写出

的值为　

　．

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