《九年级中考数学一轮复习练习》4.3 特殊三角形
4.3
特殊三角形学用 P31
[过关演练]
(60 分钟
80 分)
1.(2020·四川自贡)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点 B为圆心,BC 长为半径画弧,交AB 于点 D,
连接 CD,则∠ACD 的度数是 (D)
A.50° B.40° C.30° D.20°
【解析】在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠B=40°.∵BC=BD, ∴∠BCD=∠BDC=
1
2
(180°-40°)=70°,
∴∠ACD=90°-70°=20°.
2.如图,将矩形 ABCD 折叠,使点 C和点 A重合,折痕为 EF,EF 与AC 交于点 O.若AE=5,BF=3,则AO 的长为
(C)
A.
√
5
B.
3
√
5
2
C.2
√
5
D.4
√
5
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD,∴∠EFC=∠AEF=∠AFE,∴AE=AF=5.由折叠的性
质得 FC=AF,OA=OC,∴BC=3+5=8.在Rt△ABF 中,AB=
√
52−32
=4,在Rt△ABC 中,AC=
√
42+82
=4
√
5
,∴OA=OC=2
√
5
.
3.如图,在△ABC 中,点D为△ABC 的内心,若∠A=60°,CD=2,BD=4,则△DBC 的面积是 (B)
1
A.4
√
3
B.2
√
3
C.2 D.4
【解析】过点 B作BH⊥CD 于点 H.∵点D为△ABC 的内心,∴∠DBC+∠DCB=
1
2
(∠ABC+∠ACB)=
1
2
(180°-
∠A)=60°,
∴∠BDH=60°.∵BD=4,∴DH=2,BH=2
√
3
.∵CD=2,∴△DBC 的面积为
1
2
CD·BH=
1
2
×2×2
√
3
=2
√
3
.
4.(2020·滁州二模)如图,在△ABC 中,AB=BC=
√
3
,∠BAC=30°,分别以点 A,C为圆心,AC 的长为半径作弧,两弧
交于点 D,连接 DA,DC,则四边形 ABCD 的面积为 (D)
A.6
√
3
B.9
C.6 D.3
√
3
【解析】连接 BD 交AC 于点 O.∵AD=CD,AB=BC,∴BD 垂直平分 AC,即
BD⊥AC,AO=CO.∵AC=AD=CD,∴△ACD 是等边三角形,∴
∠DAC=∠DCA=60°,∴∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=∠CDB=30°.∵AB=BC=
√
3
,∴AD=CD=
√
3
AB=3,∴四
边形 ABCD 的面积为 2×
1
2
×3×
√
3
=3
√
3
.
5.(2020·湖北黄冈)如图,在△ABC 中,点D在边 BC 上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD=
40
°.
2
【解析】
∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=35°,∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°.∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=70°,∴∠BAD=180°-
∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°.
6.如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D,E,F分别为 AB,BC,CA 的中点.若BF=5,则DE=
5
.
【解析】在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,F为CA 的中点,∴AC=2BF=10.∵D,E分别为 AB,BC 的中点,∴DE 是
Rt△ABC 的中位线,∴DE=
1
2
AC=5.
7.(2020·合肥 48 中期末)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,AC 的垂直平分线交 BC 于点 E,交AC 于点
F,∠B=48°,∠DAE=15°,则∠C=
34
°.
【解析】∵EF 是AC 的垂直平分线,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C,∴∠DAC=∠C+15°.∵AD 平分∠BAC,
∴∠DAB=∠DAC=∠C+15°.∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴48°+∠C+15°+∠C+15°+∠C=180°,解得
∠C=34°.
8.一张直角三角形纸片 ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,D为BC 边上的任意一点,沿过点 D的直线折叠,使
直角顶点 C落在斜边 AB 上的点 E处.当△BDE 是直角三角形时,CD 的长为
3
或
24
7
.
【解析】分两种情况:① 若∠DEB=90°(如图 1),则∠AED=90°=∠C,CD=ED,连接 AD,则
Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AE=AC=6,BE=10-6=4.设CD=DE=x,则BD=8-x.在Rt△BDE 中,
DE2+BE2=BD2,即x2+42=(8-x)2,解得 x=3,∴CD=3.②若∠BDE=90°(如图 2),则
∠CDE=∠DEF=∠C=90°,CD=DE,∴四边形 CDEF 是正方形,∴
∠AFE=∠EDB=90°,∠AEF=∠B,∴△AEF∽△EBD,∴
AF
ED
=
EF
BD
.设CD=x,则EF=DE=x,AF=6-x,BD=8-x,∴
6− x
x
=
x
8− x
,解得 x=
24
7
,∴CD=
24
7
.综上所述,CD 的长为 3或
24
7
.
3
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