《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题5.11 《分式与分式方程》全章复习与巩固（知识讲解）

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专题 5.11 《分式与分式方程》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的
知识体系．
5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解
法，体会解方程中的化归思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子
A
B
叫做分式.其中 A
叫做分子，B 叫做分母.
特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即
当 B≠0 时，分式
A
B
才有意义.
1
2.分式的基本性质
　　 （M 为不等于 0 的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
要点二、分式的运算
1．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这
样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的
分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3．基本运算法则
　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
a b a b
c c c
 
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算
a c ac
b d bd
 
，其中
a b c d、 、 、
是整式，
0bd
.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算
a c a d ad
b d b c bc
 
，其中
a b c d、 、 、
是整式，
0bcd
.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
2
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，
方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的
值为 0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将
所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程
的解.
要点四、分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓
住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知
量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
1、（2020·山东济南市·济南十四中八年级期中）关于 x的方程：①－＝6；
② ＝ ；③ ＋1＝x；④ ＝ ；⑤－＝4；⑥ ＝ －x.分式方
程有____________(填序号)．
【答案】②④⑤
【详解】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程，知：分式方程有：
3
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