《【考前抓大题】冲刺中考数学》专题26 全等三角形的应用（基础）（解析版）

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专题 26 全等三角形的应用（基础）
1．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A、B间的距离：现在地上取一个可以
直接到达 A点和 B点的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝AC；连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB；连
接DE 并测量出它的长度．
（1）求证：DE＝AB；
（2）如果 DE 的长度是 8m，则 AB 的长度是多少？
【分析】（1）利用 SAS 直接得出△CDE≌△CAB，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出 AB 的长即可．
【解答】（1）证明：在△CDE 和△CAB 中，
{
CD=CA
∠DCE=∠BCA
CE=CB
，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE＝AB；
（2）解：∵DE＝AB，DE＝8m，
∴AB＝8m．
答：AB 的长度是 8m．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，得出△CDE≌△CAB 是解题关键．
2．公路上，A，B两站相距 25 千米，C、D为两所学校，DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，如图，已知
DA＝15 千米，现在要在公路 AB 上建一报亭 H，使得 C、D两所学校到 H的距离相等，且∠DHC＝
90°，问：H应建在距离 A站多远处？学校 C到公路的距离是多少千米？
1
【分析】根据同角的余角相等求出∠D＝∠CHB，再利用“角角边”证明△ADH 和△BHC 全等，根据
全等三角形对应边相等可得 AD＝BH，AH＝BC，再根据 AH＝AB﹣BH 计算即可得解．
【解答】解：∵∠DHC＝90°，
∴∠AHD+∠CHB＝90°，
∵DA⊥AB，
∴∠D+∠AHD＝90°，
∴∠D＝∠CHB，
在△ADH 和△BHC 中，
{
∠D=∠CHB
∠A=∠B=90 °
DH =CH
，
∴△ADH≌△BHC（AAS），
∴AD＝BH＝15 千米，AH＝BC，
∵A，B两站相距 25 千米，
∴AB＝25 千米，
∴AH＝AB﹣BH＝25 15﹣＝10 千米，
∴学校 C到公路的距离是 10 千米．
答：H应建在距离 A站10 千米处，学校 C到公路的距离是 10 千米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法求出两三
角形全等是解题的关键．
3．如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C不经过池塘可以直接
到达点 A和B．连接 AC 并延长到点 D，使 CD＝CA．连接 BC 并延长到点 E，使 CE＝CB．连接 DE，那
么量出 DE 的长就是 A，B的距离．为什么？
2
【分析】利用“边角边”证明△ABC 和△DEC 全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：量出 DE 的长就等于 AB 的长，理由如下：
在△ABC 和△DEC 中，
{
BC =CE
∠ACB=∠DCE
CA =CD
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
4．如图，C是路段 AB 的中点，两人从 C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达
D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段 AB 的距离相等吗？为什么？
【分析】首先根据题意可知 AC＝CB，DC＝EC，再根据 HL 定理证明 Rt△ACD Rt≌ △BCE，可得到 AD
＝BE．
【解答】解：D，E与路段 AB 的距离相等，
理由：∵点 C是路段 AB 的中点，
∴AC＝CB，
∵两人从 C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，
∴DC＝EC，
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ACD 和Rt△BCE 中
∵
{
AC =CB
CD=CE
，
∴Rt△ACD Rt≌ △BCE（HL），
∴AD＝BE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明 Rt△ACD Rt≌ △BCE．
5．如图所示，有两个长度相同的滑梯 BC 和EF，CA⊥BF，ED⊥BF，垂足分别为 A，D，左边滑梯的高度
3
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