《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》18.2 矩形（能力提升）

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第十八章平行四边形

18.2 矩形（能力提升）

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是

一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直

线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交

点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可

以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；

从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判

定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直

角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角

边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形的性质

例 1、如图所示，已知四边形 ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点 P 在

矩形上方，点 Q 在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．

【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于 90°，利用条件△PBC 和△QCD 都是等边三角

形，容易求得 ∠ PBA 和 ∠ PCQ 度数； (2) 利用 (1) 的结论以及矩形的性质进一步证明

△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得 PA＝PQ．

【答案与解析】

证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是矩形，

∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°．

∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，

∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，

∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．

∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°

(2)∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB＝DC．

∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，

∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB．

∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．

∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ．

【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用

的结论作论据即可．

举一反三：

【变式】如图所示，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点处，点 A

落在点处．

(1)求证：；

(2)设 AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．

【答案】

证明：(1)由折叠可得．

∵ AD∥BC， ∴ ，

∴ ，

∴ ．

(2)猜想．理由：

由题意，得，．

由(1)知．

在中，∵ ，，，，

∴ ．

例 2、如图所示，矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，AE 平分∠BAD 交 BC 于 E，∠CAE＝

15°，求∠BOE 的度数．

【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑

证 BO＝BE．由 AE 平分∠BAD 可求∠BAE＝45°得到 AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有 AB

＝OB．证得 BO＝BE．

【答案与解析】

解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，

∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD．

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