专题22.26 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） (1)

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专题 22.26 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解）

【学习目标】

1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；

2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，

二次函数三种形式是可以互相转化的．

【要点梳理】

1.二次函数解析式常见有以下几种形式：

(1)一般式： (a，b，c 为常数，a≠0)；

(2)顶点式： (a，h，k 为常数，a≠0)；

(3)交点式： ( ，为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a≠0)．

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中 a≠0；

第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的

方程(组)；

第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

特别说明：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点

坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、

最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)，

(x2，0)时，可设函数的解析式为．

【典型例题】

类型一、用待定系数法求二次函数解析式

1．已知二次函数经过求二次函数的表达式．

【答案】y=-x2+2x+3

【分析】运用待定系数法求这个二次函数的表达式．

解：∵二次函数经过 A（-1，0），B（3，0），C（0，3），

设y=a（x+1）（x-3），

把（0，3）代入得 3=-3a，

∴a=-1，

∴该二次函数的解析式是 y=-x2+2x+3．

【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是将点坐标正确代入

计算．

举一反三：

【变式 1】已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过点 A (3，0)，B ( 1﹣，0)，求抛物线的解析式．

【答案】y＝﹣x2+2x+3

【分析】直接利用交点式写出抛物线解析式．

解：抛物线的解析式为 y＝﹣(x3)(﹣x+1)，

即y＝﹣x2+2x+3．

【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式

时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．

【变式 2】已知抛物线 y=ax2+bx+c经过( 1﹣，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

【答案】（1）y=2x2﹣x3﹣；（2）抛物线的开口向上，对称轴为 x=，顶点坐标为（，﹣ ）．

【分析】

（1）将三点代入 y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解方程组即可得到 a，b，c的值，从而得到抛物线的

解析式．

（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论．

解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入 y=ax2+bx+c，得，解得．

所以，这个抛物线的表达式为 y=2x2﹣x3﹣．

（2）y=2x2﹣x3=2(﹣x﹣)2﹣，

所以，抛物线的开口向上，对称轴为 x=，顶点坐标为（，﹣ ）

【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质．熟练掌握待定系数法是解题的关

键．

【变式 3】如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点在抛物线上，求的值．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】

（1）将，代入，用待定系数法求解即可；

（2）将点代入抛物线表达式即可求出的值．

解：（1）把，代入，

得：，

解得：，

抛物线的解析式为：．

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