专题21.6 一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）
专题 21.6 一元二次方程中的动点问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共 30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类
型！
一．填空题（共 7小题）
1．（2022•峨边 县模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，过原点 O及点 A（0，2）、C（6，0） 作矩形
OABC，∠AOC 的平分线交 AB 于点 D．点 P从点 O出发，以每秒
❑
√
2
个单位长度的速度沿射线 OD 方向
移动；同时点 Q从点 O出发，以每秒 2个单位长度的速度沿 x轴正方向移动．设移动时间为 t秒，当 t
为 2
或
5
+❑
√
5
或
5
−❑
√
5
时，△PQB 为直角三角形．
【分析】要使△PQB 为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°，进而利用勾股定理分别分析
得出 PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6 2﹣t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，再分别就∠PQB＝90°
和∠PBQ＝90°讨论，求出符合题意的 t值即可；
【解答】解：作 PG⊥OC 于点 G，在 Rt△POG 中，
∵∠POQ＝45°，
∴∠OPG＝45°，
∵OP
¿❑
√
2
t，
∴OG＝PG＝t，
∴点 P（t，t），
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6 2﹣t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，
①若∠PQB＝90°，则有 PQ2+BQ2＝PB2，
即：2t2+[（6 2﹣t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，
整理得：4t28﹣t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝2，
∴t＝2，
②若∠PBQ＝90°，则有 PB2+QB2＝PQ2，
∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6 2﹣t）2+22]＝2t2，
整理得：t210﹣t+20＝0，
解得：t＝5±
❑
√
5
．
∴当 t＝2或t＝5
+❑
√
5
或t＝5
−❑
√
5
时，△PQB 为直角三角形．
故答案为：2或5
+❑
√
5
或5
−❑
√
5
．
2．（2022 春•衢江区校级期末）如图，B是AC 上一点，且 BC＝6cm，AB＝4cm，射线 BD⊥AC，垂足为
B，动点 M从A出发以 2cm/s的速度沿着 AC 向C运动，同时动点 N从B出发以 3cm/s的速度沿着射线
BD 向下运动，连接 MN．当△BMN 的面积为
3
2
cm2，两动点运动了 t（s），则 t的值为
2−❑
√
2
2
或
2+❑
√
2
2
或
2+❑
√
6
2
．
【分析】分 0＜t＜2及2＜t≤5 两种情况考虑，当 0＜t＜2时，BM＝（4 2﹣t）cm，BN＝3tcm，根据
△BMN 的面积为
3
2
cm2，即可得出关于 t的一元二次方程，解之即可得出 t值；当 2＜t≤5 时，BM＝（2t
4﹣ ）cm，BN＝3tcm，根据△BMN 的面积为
3
2
cm2，即可得出关于 t的一元二次方程，解之取其符合题
意的值即可得出结论．
【解答】解：当 0＜t＜2时，BM＝（4 2﹣t）cm，BN＝3tcm，
∴
1
2
（4 2﹣t）•3t
¿3
2
，
整理得：2t24﹣t+1＝0，
解得：t1
¿2−❑
√
2
2
，t2
¿2+❑
√
2
2
；
当2＜t≤5 时，BM＝（2t4﹣ ）cm，BN＝3tcm，
∴
1
2
（2t4﹣ ）•3t
¿3
2
，
整理得：2t24﹣t1﹣ ＝0，
解得：t3
¿2−❑
√
6
2
（不合题意，舍去），t4
¿2+❑
√
6
2
．
综上所述，t的值为
2−❑
√
2
2
或
2+❑
√
2
2
或
2+❑
√
6
2
．
故答案为：
2−❑
√
2
2
或
2+❑
√
2
2
或
2+❑
√
6
2
．
3．（2022•临清市一模）在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD 为BC 边上的高，动点 P从点
A出发，沿 A→D方向以
❑
√
2
cm/s的速度向点 D运动．设△ABP 的面积为 S1，矩形 PDFE 的面积为 S2，运
动时间为 t秒，则 t＝ 6 秒时，S1＝2S2．
【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出 S1和S2，然后根据 S1＝2S2，即可列方程
求解．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD 为BC 边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝8
❑
√
2
cm，
又∵AP
¿❑
√
2
t，
则S1
¿1
2
AP•BD
¿1
2×
8
❑
√
2×❑
√
2
t＝8t，PD＝8
❑
√
2−❑
√
2
t，
∵PE∥BC，
∴∠AEP＝∠C＝45°，∠APE＝∠ADC＝90°，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°
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