专题21.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 21.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】

【人教版】

【题型 1 数字问题】....................................................................................................................................................1

【题型 2 平均变化率问题】........................................................................................................................................3

【题型 3 销售利润问题】............................................................................................................................................4

【题型 4 传播问题】....................................................................................................................................................6

【题型 5 循环问题】....................................................................................................................................................8

【题型 6 树枝分叉问题】..........................................................................................................................................10

【题型 7 工程问题】..................................................................................................................................................11

【题型 8 图形问题】..................................................................................................................................................14

【题型 9 面积问题】..................................................................................................................................................17

【题型 1 数字问题】

【例 1】（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为 6，把这两个数字交换位置后所形成的两位

数与原两位数的积是 1008，求原来的两位数．

【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为 6表示出十位数字，根据新两位数×原来的两位数

＝1008 列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即可．

【解答】解：设原两位数的个位数字为 x，十位数字为（6﹣x），

根据题意可知，[10（6﹣x）+x][10x+（6﹣x）]＝1008，

即x26﹣x+8＝0，

解得 x1＝2，x2＝4，

∴6﹣x＝4，或 6﹣x＝2，

∴10（6﹣x）+x＝42 或10（6﹣x）+x＝24，

答：这个两位数是 42 或24．

【变式 1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念

奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小

个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，

该数的十位数字比个位小 3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为 x，则可

列方程（　　）

A．10（x+3）+x＝x2B．10（x3﹣ ）+x＝（x3﹣ ）2

C．10（x3﹣ ）+x＝x2D．10（x+3）+x＝（x3﹣ ）2

【分析】根据“该数的十位数字比个位小 3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可．

【解答】解：根据题意，可得 10（x3﹣ ）+x＝x2，

故选：C．

【变式 1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位上

的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小 4，则这个两位数是　 84 　．

【分析】设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的

平方和比这个两位数小 4，即可得出关于 x的一元二次方程，解之即可得出 x的值，再将其非负整数代

入[10（x+4）+x]中即可求出结论．

【解答】解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为（x+4），

依题意得：x2+（x+4）2[10﹣ （x+4）+x]＝﹣4，

整理得：x1＝4，x2＝﹣5．

又∵x为非负整数，

∴x＝4，

∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84．

故答案为：84．

【变式 1-3】（2022•秦都区期末）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，

十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平

方等于他去世时的年龄．

【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x3﹣ ．根据题意建立方程求出其值就可以

求出其结论．

【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x3﹣ ，依题意得：

10（x3﹣ ）+x＝x2，

解得 x1＝5，x2＝6，

当x＝5时，25＜30，（不合题意，舍去），

当x＝6时，36＞30（符合题意），

答：周瑜去世时的年龄为 36 岁．

【题型 2 平均变化率问题】

【例 2】（2022 春•钟山县期末）某商品原价为 20 元，连续两次降价后售价为 8元，设平均降价率为 x，根

据题意，可列方程为（　　）

A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20

【分析】设该商品平均每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分

率），则第一次降价后的价格是 20（1﹣x），第二次后的价格是 20（1﹣x）2，据此即可列方程．

【解答】解：由题意可得，

20（1﹣x）2＝8，

故选：C．

【变式 2-1】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加

44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　）

A．20% B．11% C．22% D．44%

【分析】可设这两年平均每年的增长率为 x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加 44%，则有

（1+x）2＝1+44%，解这个方程即可求出答案．

【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为 x，根据题意得，

（1+x）2＝1+44%，

解得 x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2．

答：这两年平均每年绿地面积的增长率为 20%．

故选：A．

【变式 2-2】（2022 春•芝罘区期末）某种药品原来售价 200 元，连续两次降价后售价为 162 元．若平均每

次下降的百分率相同，则这个百分率是　 10% 　．

【分析】设平均每次下降的百分率为 x，利用经过两次降价后的售价＝原价×（1﹣平均每次下降的百分

率）2，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解答】解：设平均每次下降的百分率为 x，

依题意得：200（1﹣x）2＝162，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），

∴平均每次下降的百分率为 10%．

故答案为：10%．

【变式 2-3】（2022•秀峰区校级期中）某小区 2013 年屋顶绿化面积为 2000 平方米，计划 2015 年屋顶绿化

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