专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】
【人教版】
【题型 1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】...........................................................................................1
【题型 2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】...........................................................................................2
【题型 3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】...........................................................................................2
【题型 4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】...............................................................................................2
【题型 5 构造一元二次方程求代数式的值】...........................................................................................................3
【题型 6 已知方程根的情况判断另一个方程】.......................................................................................................4
【题型 7 根与系数关系中的新定义问题】................................................................................................................4
【题型 8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】...............................................................................6
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
如果一元二次方程
ax2+bx +c=0(a ≠ 0)
的两个实数根是
21 xx ，
，那么
a
b
xx 21
，
a
c
xx
21
.
注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【题型 1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】
【例 1】（2022•江安县模拟）若 α、β是一元二次方程 2x2+3x5﹣＝0的两根，则
α
β+β
α
的值是 　 　．
【变式 1-1】（2021 秋•密山市校级期末）若 x1，x2是一元二次方程 x27﹣x+5＝0的两根，则（x11﹣）（x2
1﹣）的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【变式 1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数 a、b满足
❑
√
a−2+¿
|b+3|＝0，若关于 x的一元二次方程 x2﹣
ax+b＝0的两个实数根分别为 x1、x2，则
1
x1
+1
x2
的值是（　　）
A．
−2
3
B．
2
3
C．2 D．
1
6
【变式 1-3】（2022 春•琅琊区校级月考）若 α，β（α≠β）是一元二次方程 x25﹣x14﹣＝0的两个根，则 α
﹣β的值为（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5
【题型 2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】
【例 2】（2022•乳山市模拟）若 x1，x2是方程 2x23﹣x+1＝0的两个根，则 3x123﹣x1+x22＝（　　）
A．
1
4
B．
5
4
C．
9
4
D．
3
4
【变式 2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程 x22022﹣x+1＝0的两个根分别为 x1，x2，则 x12
−2022
x2
+¿
1的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021
【变式 2-2】（2022•东港区校级一模）若 m，n是一元二次方程 x25﹣x1﹣＝0的两个实数根，则 m26﹣m﹣
n+2022 的值是（　　）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【变式 2-3】（2022 春•海门市期末）若 m，n是方程 x22﹣x1﹣＝0的两个实数根，则 2m2+4n24﹣n+2022 的
值为 　 　．
【题型 3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】
【例 3】（2022•呼和浩特）已知 x1，x2是方程 x2﹣x2022﹣＝0的两个实数根，则代数式 x132022﹣x1+x22的
值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【变式 3-1】（2022•硚口区模拟）已知 a，b是方程 x2﹣x5﹣＝0的两根，则代数式﹣a3+5a
−5
b
的值是（
）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【变式 3-2】（2022•松山区模拟）若 m，n是一元二次方程 x2+x3﹣＝0的两个实数根，则 m34﹣n2+17 的值
为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【变式 3-3】（2022 春•汉阳区校级月考）已知 m，n是方程 x24﹣x+2＝0的两根，则代数式 2m3+5n2
−16
n+¿
4的值是（　　）
A．57 B．58 C．59 D．60
【题型 4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】
【例 4】（2021 秋•毕节市期末）已知 x1，x2是关于 x的一元二次方程 x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等
的实数根，且满足
1
x1
+1
x2
=1
，则 m的值为（　　）
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
【变式 4-1】（2021 秋•黔西南州期末）已知关于 x的一元二次方程 x22﹣（a1﹣）x+a2﹣a2﹣＝0有两个不
相等的实数根 x1，x2．且 x1，x2满足 x12+x22﹣x1x2＝16，则 a的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1
【变式 4-2】（2022 春•仓山区校级期末）已知关于 x的一元二次方程 x24﹣kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根 x1，x2，满足 x1﹣x2＝3，求 k的值．
【变式 4-3】（2022•内江）已知 x1、x2是关于 x的方程 x22﹣x+k1﹣＝0的两实数根，且
x2
x1
+x1
x2
=¿
x12+2x2﹣
1，则 k的值为 　 　．
【题型 5 构造一元二次方程求代数式的值】
【例 5】（2022•鄞州区模拟）已知实数 a≠b，且满足（a+1）2＝3 3﹣（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，
则
b❑
√
b
a+a❑
√
a
b
的值为（　　）
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
【变式 5-1】（2021 秋•鄞州区校级期末）已知实数 α，β满足 2α2+5α2﹣＝0，2β25﹣β2﹣＝0，且 αβ≠1，
且
1
β2+α
β−5
2α
的值为（　　）
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