专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】
【人教版】
【题型 1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】...........................................................................................1
【题型 2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】...........................................................................................3
【题型 3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】...........................................................................................4
【题型 4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】...............................................................................................6
【题型 5 构造一元二次方程求代数式的值】...........................................................................................................9
【题型 6 已知方程根的情况判断另一个方程】.....................................................................................................11
【题型 7 根与系数关系中的新定义问题】..............................................................................................................14
【题型 8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】.............................................................................19
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
如果一元二次方程
ax2+bx +c=0(a ≠ 0)
的两个实数根是
21 xx ，
，那么
a
b
xx 21
，
a
c
xx
21
.
注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【题型 1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】
【例 1】（2022•江安县模拟）若 α、β是一元二次方程 2x2+3x5﹣＝0的两根，则
α
β+β
α
的值是 　 　．
【分析】根据根与系数的关系可得 α+β
¿−3
2
，αβ
¿−5
2
，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可
求出代数式的值．
【解答】解：∵α+β
，αβ
¿−5
2
，
∴α2+β2＝（α+β）22﹣αβ
¿29
4
，
∴
α
β+β
α=α2+β2
αβ =−29
10
，
故答案为：
−29
10
．
【变式 1-1】（2021 秋•密山市校级期末）若 x1，x2是一元二次方程 x27﹣x+5＝0的两根，则（x11﹣）（x2
1﹣）的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据根与系数的关系得出 x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程 x27﹣x+5＝0的两根，
∴x1+x2＝7；x1x2＝5．
则（x11﹣）（x21﹣）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝5 7+1﹣＝﹣1．
故选：B．
【变式 1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数 a、b满足
❑
√
a−2+¿
|b+3|＝0，若关于 x的一元二次方程 x2﹣
ax+b＝0的两个实数根分别为 x1、x2，则
1
x1
+1
x2
的值是（　　）
A．
−2
3
B．
2
3
C．2 D．
1
6
【分析】根据非负数的性质得出 a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得 x1+x2＝2，x1•x2＝3，将
1
x1
+1
x2
变形为
x1+x2
x1x2
，整体代入即可求得．
【解答】解：∵实数 a、b满足
❑
√
a−2+¿
|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于 x的一元二次方程 x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为 x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴
1
x1
+1
x2
=x1+x2
x1x2
=−2
3
，
故选：A．
【变式 1-3】（2022 春•琅琊区校级月考）若 α，β（α≠β）是一元二次方程 x25﹣x14﹣＝0的两个根，则 α
﹣β的值为（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5
【分析】利用根与系数的关系可得出 α+β＝5，α•β＝﹣14，将其代入（α﹣β）2＝（α+β）24﹣α•β中可
求出（α﹣β）2的值，开方后即可求出 α﹣β的值．
【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程 x25﹣x14﹣＝0的两个根，
∴α+β＝5，α•β＝﹣14，
∴（α﹣β）2＝（α+β）24﹣α•β＝524×﹣（﹣14）＝81，
∴α﹣β＝±9．
故选：C．
【题型 2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】
【例 2】（2022•乳山市模拟）若 x1，x2是方程 2x23﹣x+1＝0的两个根，则 3x123﹣x1+x22＝（　　）
A．
1
4
B．
5
4
C．
9
4
D．
3
4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x2
¿3
2
，x1x2
¿1
2
，将 3x123﹣x1+x22变形后求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程 2x23﹣x+1＝0的两个根，
∴x1+x2
¿3
2
，x1x2
¿1
2
，2x123﹣x1+1＝0，
∴3x123﹣x1+x22
＝2x123﹣x1+x12+x22
＝﹣1
+¿
＝﹣1
+9
4−¿
1
¿1
4
，
故选：A．
【变式 2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程 x22022﹣x+1＝0的两个根分别为 x1，x2，则 x12
−2022
x2
+¿
1的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 x12+1＝2022x1，则 x12
−2022
x2
+¿
1变形为 2022
×x1x2−1
x2
，
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