专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】
【人教版】
【题型 1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】...............................................................................1
【题型 2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】...................................................................................2
【题型 3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】.......................................................................................2
【题型 4 由方程根的情况确定字母的取值范围】...................................................................................................3
【题型 5 由方程有两个相等的实数根求值】...........................................................................................................4
【题型 6 根的判别式与新定义的综合】....................................................................................................................4
【题型 7 由根的判别式证明方程根的必然情况】...................................................................................................5
【题型 8 根的判别式与三角形的综合】....................................................................................................................5
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：
∆=b2−4ac
．
①当
∆=b2−4ac>0
时，原方程有两个不等的实数根；
②当
∆=b2−4ac=0
时，原方程有两个相等的实数根；
③当
∆=b2−4ac<0
时，原方程没有实数根.
【题型 1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】
【例 1】（2022•滨州）一元二次方程 2x25﹣x+6＝0的根的情况为（　　）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【变式 1-1】（2022•梧州）一元二次方程 x23﹣x+1＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【变式 1-2】（2022 春•长沙期末）关于 x的一元二次方程
x2−4❑
√
2x+9=0
的根的情况，下列说法正确的
是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
【变式 1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x1﹣）＝x4﹣的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【题型 2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】
【例 2】（2022 春•钱塘区期末）已知关于 x的方程 x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．不存在 k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个 k的值，使得方程没有实数解
C．无论 k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论 k为何值，方程有两个不相等的实数根
【变式 2-1】（2022•南召县模拟）已知关于 x的方程（x1﹣）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　）
A．当 p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当 p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当 p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与 p的值无关
【变式 2-2】（2022•环翠区一模）对于任意的实数 k，关于 x的方程
1
4
x2−(k+2)x+2k2+5k+5=0
的根的
情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【变式 2-3】（2022 春•平潭县期末）对于任意实数 k，关于 x的方程 x22﹣（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的
情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【题型 3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】
【例 3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于 x的一元二次方程 ax2+bx 1﹣＝0总有实数根的条件，下面三名
同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b1﹣＝0；丙：a+b1﹣＝0．其中符合条件的是（　　）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
【变式 3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数 a，b，c满足 a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于 x的方程
ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有且只有一个实数根
C．两个实数根 D．无数个实数根
【变式 3-2】（2022 春•德阳月考）函数 y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于 x的一元二次方程 x2+bx+k1﹣＝
0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【变式 3-3】（2022•咸安区模拟）已知不等式组
有3个整数解，则关于 x的方程 ax2+（2a﹣
1）x+a＝0根的情况为（　　）
A．无法判断 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【题型 4 由方程根的情况确定字母的取值范围】
【例 4】（2022 春•长丰县期末）关于 x的一元二次方程（m1﹣）x2+2x1﹣＝0有两个不相等的实数根，则
m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞0 C．m＜1且m≠0 D．m＞0且m≠1
【变式 4-1】（2022•西平县模拟）若关于 x的一元二次方程 x2﹣（2k1﹣）x+k22﹣＝0有实数根，则 k的取
值范围是（　　）
A．
k ≤ 9
4
B．
k ≥ 9
4
C．
k＞9
4
D．
k＜9
4
【变式 4-2】（2022•滑县模拟）若关于 x的一元二次方程 2kx23﹣
❑
√
k+1
x+1＝0有两个不相等的实数根，则
k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k＞﹣9且k≠0 C．k≥ 1﹣且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【变式 4-3】（2022•定海区一模）直线 y＝x﹣a不经过第二象限，且关于 x的方程 ax22﹣x+1＝0有实数解，
则a的取值范围是（　　）
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