专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】
【人教版】
【题型 1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】...............................................................................1
【题型 2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】...................................................................................2
【题型 3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】.......................................................................................4
【题型 4 由方程根的情况确定字母的取值范围】...................................................................................................7
【题型 5 由方程有两个相等的实数根求值】...........................................................................................................8
【题型 6 根的判别式与新定义的综合】..................................................................................................................10
【题型 7 由根的判别式证明方程根的必然情况】.................................................................................................12
【题型 8 根的判别式与三角形的综合】..................................................................................................................14
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：
∆=b2−4ac
．
①当
∆=b2−4ac>0
时，原方程有两个不等的实数根；
②当
∆=b2−4ac=0
时，原方程有两个相等的实数根；
③当
∆=b2−4ac<0
时，原方程没有实数根.
【题型 1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】
【例 1】（2022•滨州）一元二次方程 2x25﹣x+6＝0的根的情况为（　　）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【分析】求出判别式 Δ＝b24﹣ac，判断其的符号就即可得出结论．
【解答】解：∵Δ＝（﹣5）24×2×6﹣＝25 48﹣＝﹣23＜0，
∴2x25﹣x+6＝0无实数根，
故选：A．
【变式 1-1】（2022•梧州）一元二次方程 x23﹣x+1＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到 Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）24×1×1﹣＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【变式 1-2】（2022 春•长沙期末）关于 x的一元二次方程
x2−4❑
√
2x+9=0
的根的情况，下列说法正确的
是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．
【解答】解：方程 x24﹣
❑
√
2
x+9＝0，
∵Δ＝（﹣4
❑
√
2
）24×1×9﹣＝32 36﹣＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【变式 1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x1﹣）＝x4﹣的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先把方程化为一般式，再应用根的判别式进行计算即可得出答案．
【解答】解：（x+3）（x1﹣）＝x4﹣，
x2+x+1＝0，
a＝1，b＝1，c＝1，
Δ＝b24﹣ac＝124×1×1﹣＝﹣3＜0，
所以原方程无实数根．
故选：D．
【题型 2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】
【例 2】（2022 春•钱塘区期末）已知关于 x的方程 x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．不存在 k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个 k的值，使得方程没有实数解
C．无论 k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论 k为何值，方程有两个不相等的实数根
【分析】先计算 Δ的值，利用 k的值，可作判断．
【解答】解：关于 x的方程 x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）24×1×﹣（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当 k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为 Δ≥0，所以不存在 k的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k2﹣，所以无论 k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选
项正确；
D、当 k≠ 1﹣时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
【变式 2-1】（2022•南召县模拟）已知关于 x的方程（x1﹣）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　）
A．当 p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当 p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当 p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与 p的值无关
【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为 4p+9，再判断各选项的正确与否即可．
【解答】解：方程（x1﹣）（x+2）＝p可整理为 x2+x2﹣ ﹣p＝0，
∴Δ＝124×1×﹣（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项 A不符合题意；
当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项 B符合题意；
当p＜0时，Δ的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项 C不符合题意；
∵方程的根的情况和 p的值有关，
故选项 D不符合题意．
故选 B．
【变式 2-2】（2022•环翠区一模）对于任意的实数 k，关于 x的方程
1
4x2−(k+2)x+2k2+5k+5=0
的根的
情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
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