专题21.3 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）
专题 21.3 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 二次函数的配方法】
y=ax2+bx+c
(
a ≠ 0
)
¿a
(
x2+b
ax+c
a
)
①提取二次项系数；
¿a
[
x2+b
ax+
(
b
2a
)
2
−
(
b
2a
)
2
+c
a
]
②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
¿a
[
(
x+b
2a
)
2
+4ac−b2
4a2
]
③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
¿a
(
x+b
2a
)
2
+4ac−b2
4a2
④化简：去掉中括号.
二次函数的一般形式
y=ax2+bx+c
(
a ≠ 0
)
配方成顶点式
y=a
(
x+b
2a
)
2
+4ac−b2
4a2
，由此得到二次函数对
称轴为 ，顶点坐标为 ．
【题型 1 二次函数的配方法】
【例 1】用配方法将下列函数化成 y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
（1）y
¿−1
2
x2+6x17﹣；
（2）y＝（2﹣x）（1+2x）．
【解题思路】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，
把一般式转化为顶点式；
（2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
把一般式转化为顶点式．
【解答过程】解：（1）y
¿−1
2
x2+6x17﹣
¿−1
2
（x212﹣x+36）+18 17﹣
¿−1
2
（x6﹣）2+1，
∵a
¿−1
2＜
0，
∴开口向下，
对称轴为直线 x＝6，顶点坐标为（6，1）；
（2）y＝（2﹣x）（1+2x）＝﹣2x2+3x+2＝﹣2（x2
−3
2
x
+9
16
）
+9
8+¿
2＝﹣2（x
−3
4
）2
+25
8
，
∵a＝﹣2＜0，
∴开口向下，
对称轴为直线 x
¿3
4
，顶点坐标为（
3
4
，
25
8
）．
【变式 1-1】用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标，
（1）y＝2x212﹣x+3
（2）y＝﹣5x2+80x319﹣
（3）y＝2（x
−1
2
）（x2﹣）
（4）y＝3（2x+1）（2﹣x）
【解题思路】（1）、（2）先把二次项系数转化为 1，然后利用完全平方公式进行转化．
（3）先利用多项式乘以多项式的法则将括号内的式子展开，然后利用完全平方公式进行解答．
（4）先转化为一般式方程，然后利用配方法进行解答．
【解答过程】解：（1）y＝2x212﹣x+3＝2（x26﹣x）+3＝2（x3﹣）215﹣；
则该函数的对称轴是直线 x＝3，顶点坐标为（3，﹣15）；
（2）y＝﹣5x2+80x319﹣＝﹣5（x216﹣x）﹣319＝﹣5（x8﹣）2+1．
则该函数的对称轴是直线 x＝8，顶点坐标为（8，1）；
（3）y＝2（x
−1
2
）（x2﹣）＝2（x2
−5
2
x）+2＝2（x
−5
4
）2
−9
8
．
则该函数的对称轴是直线 x
¿5
4
，顶点坐标为（
5
4
，
−9
8
）；
（4）y＝3（2x+1）（2﹣x）＝3（﹣2x2+3x+2）＝﹣6（x2
−3
2
x）+6＝﹣6（x
−3
4
）2
+21
8
．
则该函数的对称轴是直线 x
¿3
4
，顶点坐标为（
3
4
，
21
8
）；
【变式 1-2】用配方法把下列函数化成 y＝a（x﹣h）2的形式，并写出函数图象的顶点坐标、开口方向及对
称轴．
（1）y＝4x24﹣x+1；
（2）y
¿1
2
x2+2x+2；
（3）y
¿−1
3
x2
+2
3
❑
√
3
x1﹣．
【解题思路】（1）直接利用配方法得出二次函数顶点坐标和对称轴即可；
（2）直接利用配方法得出二次函数顶点坐标和对称轴即可；
（3）直接利用配方法得出二次函数顶点坐标和对称轴即可．
【解答过程】解：（1）y＝4x24﹣x+1
＝4（x2﹣x
+1
4
）
＝4（x
−1
2
）2，
函数图象的顶点坐标为：（
1
2
，0）、开口方向向上，对称轴为：x
¿1
2
；
（2）y
¿1
2
x2+2x+2
¿1
2
（x2+4x+4）
¿1
2
（x+2）2，
函数图象的顶点坐标为：（﹣2，0）、开口方向向上，对称轴为：x＝﹣2；
（3）y
¿−1
3
x2
+2
3
❑
√
3
x1﹣
¿−1
3
（x22﹣
❑
√
3
x+3）
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