专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 21.2 一元二次方程的解法【八大题型】

【人教版】

【题型 1 用直接开平方法解一元二次方程】...........................................................................................................1

【题型 2 用配方法解一元二次方程】........................................................................................................................2

【题型 3 用公式法解一元二次方程】........................................................................................................................3

【题型 4 用因式分解法解一元二次方程】................................................................................................................3

【题型 5 用指定方法解一元二次方程】....................................................................................................................4

【题型 6 用适当的方法解一元二次方程】................................................................................................................5

【题型 7 用换元法解一元二次方程】........................................................................................................................5

【题型 8 配方法的应用】............................................................................................................................................7

【知识点 1 直接开平方法解一元二次方程】

根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.

直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为

x2=p(p ≥ 0)

或

(mx+n)2=p(p ≥0, m ≠0)

的形式；

②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.

【题型 1 用直接开平方法解一元二次方程】

【例 1】（2022•建华区二模）解方程：

−1

（x2﹣）2

4=¿

0（开平方法）．

【变式 1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）．

【变式 1-2】（2021 秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）29﹣（x2﹣）2＝0（开平方法）．

【变式 1-3】（2022 春•黄浦区校级期中）解关于 x的方程：x23﹣＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．

【知识点 2 配方法解一元二次方程】

将一元二次方程配成

(x+m)2=n

的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为

ax2+bx +c=0(a ≠ 0)

的形式；②方程两边同除以二

次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④

把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法

来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

【题型 2 用配方法解一元二次方程】

【例 2】（2022 春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程 2x26﹣x+3＝0；

（2）请用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）．

【变式 2-1】（2022 秋•松江区期末）用配方法解方程：

x2−2❑

√

5x=4

．

【变式 2-2】（2022 秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x28﹣x7﹣＝0．

【变式 2-3】（2022 秋•潢川县期末）解方程：2x25﹣x+1＝0（用配方法）

【知识点 3 公式法解一元二次方程】

当

b2−4ac ≥ 0

时，方程

ax2+bx +c=0(a ≠ 0)

通过配方，其实数根可写为

x=−b ±❑

√

b2−4ac

的形式，这

个

式子叫做一元二次方程

ax2+bx +c=0(a ≠ 0)

的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解

一元二次方程的方法叫做公式法.

【题型 3 用公式法解一元二次方程】

【例 3】（2022 春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a23﹣＝﹣4a．

【变式 3-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x1﹣）（2x+2）（公式法）．

【变式 3-2】（2022 秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x22﹣

❑

√

x3﹣＝0．

【变式 3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x27﹣x+6＝0．

【知识点 4 因式分解法概念】

当一个一元二次方程的一边是 0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方

程

转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

【题型 4 用因式分解法解一元二次方程】

【例 4】（2022 秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x3﹣）＝3x（x3﹣）．

【变式 4-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：（4 3﹣x）+（3x4﹣）2＝0（因式分解法）．

【变式 4-2】（2022 秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1 2﹣x）2．

【变式 4-3】（2022 秋•简阳市月考）用因式分解法解方程：x2

−❑

√

3x+❑

√

2x−❑

√

6=¿

【题型 5 用指定方法解一元二次方程】

【例 5】（2022 秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：

（1）（x+1）2144﹣＝0（直接开平方法）；

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